快速巧解材料力學(xué)靜定梁的約束力和彎曲內(nèi)力圖

吳建強(qiáng) 林遠(yuǎn)東

摘要：材料力學(xué)是高等院校機(jī)械、采礦、土木、力學(xué)等專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文以理論力學(xué)靜力學(xué)為基礎(chǔ)，總結(jié)出求約束力和畫剪力圖彎矩圖的簡便方法，避免了求解繁瑣的平衡方程和分段列彎矩方程、剪力方程畫內(nèi)力圖的麻煩，從而大大提高運(yùn)算速度。

關(guān)鍵詞：約束力;彎矩圖;剪力圖

一、引言

要想正確的畫出剪力圖和彎矩圖，對于簡支梁、外伸梁和組合梁先要計(jì)算約束反力，對于懸臂梁可以不求約束反力，可以從自由端開始作圖，對于需要求約束反力的梁，一旦約束反力求解錯誤，將直接導(dǎo)致后面的求解跟著出錯。作者根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出了求解方法，避免用靜力學(xué)的靜力平衡方程的繁瑣，方便快捷。

二、求靜定梁約束反力的方法

求解靜定梁約束反力時，約束力等于

與其反向的力偶和與其同向的力偶差除以兩約束間距離。圖1所示外伸梁，如果欲求A處約束力，設(shè)其方向向上，則該力對B點(diǎn)產(chǎn)生的矩為順時針方向，那么分子就是逆時針的力偶與順時針的力偶差，分子則是AB之間的距離。即

由此可見，僅通過簡單運(yùn)算即得約束反力。

三、根據(jù)外力畫剪力圖和彎矩圖

材料力學(xué)書上介紹的方法基本上都是先列出建立方程和彎矩方程，然后根據(jù)方程畫出內(nèi)力圖，雖然準(zhǔn)確但是麻煩，特別是結(jié)構(gòu)受力比較復(fù)雜時，分段多方程多，求解繁瑣。下面我們將用作圖規(guī)律直接由外力畫剪力圖和彎矩圖，這樣無論是在學(xué)習(xí)或者工程中的力學(xué)分析都能大大節(jié)省時間。

首先介紹作圖規(guī)律。

剪力圖，從左往右作圖時，向上的力引起正的剪力，向下的力引起負(fù)的剪力。在集中力作用處引起突變，突變值等于該集中力，突變方向與力的方向相同;在均布力作用區(qū)為傾斜直線，其斜率等于均布強(qiáng)度q，傾斜方向與力的方向相同;在無力作用區(qū)為水平直線;與力偶無關(guān)。從右向左作圖時，力反向即可。即：向上的力引起負(fù)的剪力，向下的力引起正的剪力，在集中力作用處引起突變，突變值等于該集中力，突變方向與力的方向相反;在均布力作用區(qū)為傾斜直線，其斜率等于均布強(qiáng)度q，傾斜方向與力的方向相反;在無力作用區(qū)為水平直線;與力偶無關(guān)。

彎矩圖，從左向右作圖。向上的力引起正的彎矩，向下的力引起負(fù)的彎矩。在集中力作用處出現(xiàn)尖角，在均布力作用區(qū)為拋物線，其開口方向與均布力方向相同;在無力作用區(qū)為傾斜直線，其斜率等于該截面上的剪力;在集中力偶矩作用處引起突變，突變值等于該集中力偶矩，順時針轉(zhuǎn)動的力偶引起正的突變，逆時針的力偶引起負(fù)的突變。特別要注意，在剪力等于零處，彎矩出現(xiàn)極值。從右向左作圖時，力不變，力偶反向。即向上的力引起正的彎矩，向下的力引起負(fù)的彎矩。在集中力作用處出現(xiàn)尖角，在均布力作用區(qū)為拋物線，其開口方向與均布力方向相反;在無力作用區(qū)為傾斜直線，其斜率等于該截面上的剪力;在集中力偶矩作用處引起突變，突變值等于該集中力偶矩，逆時針轉(zhuǎn)動的力偶引起正的突變，順時針的力偶引起負(fù)的突變。

下面通過作圖規(guī)律來作圖1外伸梁的剪力圖和彎矩圖。

對于剪力圖，從左往右，A端受到約束力作用，引起突變，力向上，向上突變，突變值等于該約束力7KN，在AC之間受到均布力作用，剪力圖為傾斜直線，其斜率等于均布強(qiáng)度1，力向下，向下傾斜，C點(diǎn)剪力等于A點(diǎn)剪力加上AC段均布力面積，力向下面積為負(fù)，力向上面積為正，得到C處剪力為3KN，然后在C處受到向下的集中力2KN，剪力圖向下突變2，CD段為均布力，繼續(xù)向下傾斜，AC段和CD段平行，通過類似計(jì)算得到D處剪力為3KN，作剪力圖時，D處彎矩不影響，BD段為無力作用區(qū)，剪力圖成水平直線，B處受向上的約束力，引起突變，繼續(xù)用作圖規(guī)律得到完整的剪力圖如圖2所示。從右往左作圖留給讀者自行練習(xí)。

對于彎矩圖，從左往右作圖，AC段為向下的均布力，其彎矩圖為開口向上的拋物線，C處彎矩等于AC段剪力圖的面積，剪力圖為正，面積為正，剪力圖為負(fù)，面積為負(fù)。CD段仍然受到向下的均布力，而且在其間有剪力等于零的截面，該處彎矩出現(xiàn)極值20.5KNm，在D處受到集中力偶矩作用，引起突變，突變值等于該集中力偶矩。BD段為無力作用區(qū)，為傾斜直線，斜率等于該截面上的剪力，繼續(xù)根據(jù)規(guī)律可畫出完整彎矩圖。

值得注意的是，無論是剪力圖還是彎矩圖都是封閉圖形。

結(jié)束語：綜上所述，通過總結(jié)出來的計(jì)算約束力方法和剪力圖彎矩圖作圖規(guī)律，可以避免列靜力平衡方程，各段的剪力方程和彎矩方程。根據(jù)外力直接作圖，思路清晰明確，直觀具體，使材料力學(xué)的解題更加簡單方便。

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安徽理工大學(xué)重點(diǎn)教學(xué)研究項(xiàng)目（2019jyxm075）;理論力學(xué)慕課項(xiàng)目號：No.2017mooc117。

（安徽理工大學(xué)力學(xué)與光電物理學(xué)院 安徽淮南 232001）