淺談極化恒等式在向量數量積運算中的應用

李波

【摘要】19世紀末20世紀初才發展起來的“向量數學”，以其獨有的屬性，集數與形于一體，是數與形的完美結合，很快形成了一套具有優良運算通法的數學體系，成為數學新教材改革的一大閃光點.探索平面向量的代數形式與幾何特征，不僅可以激發學生的學習興趣，還可以引導學生拓展思路，培養學生的學科素養.

【關鍵詞】向量，數量積，極化恒等式

引例：教材在證明向量數量積滿足的乘法分配律，給出了向量數量積與代數類似的完全平方和平方差展開式.

下面我們簡單講解一下這兩個式子的幾何用法：

下面，本文通過幾個具體事例，談談極化恒等式在向量數量積運算中的應用，感知體會一下向量運算中數與形的完美結合，以及數化形的簡潔、直觀、便捷.

小結：此解法通過極化恒等式，把向量的運算與歐式幾何的直觀性有機地結合起來，結合圖形，直觀的探求出最值條件，動點的位置，進而通過平面幾何知識，利用同底三角形的面積關系，將問題等價轉化為兩個相似直角三角形的面積問題，借助相似比使問題高效便捷的得以解決.

小結：本題抓住圓的對稱性，在變化中尋找不變的幾何代數關系，通過向量數量積運算的極化恒等式，將問題轉化為學生所熟悉的橢圓焦半徑性質問題，體現了高中數學化歸與轉化的思想，拓展了學生的思維，培養學生多角度思考問題，積極探索解決問題的最佳途徑.

小結：本題抓住數量接這一條件，利用極化恒等式，借助圓的定義巧妙的得到動點的軌跡，主要考查學生對數量積的運算轉化和對高中常見曲線的定義掌握程度.

本文所述極化恒等式只是給解決向量數量積的運算提供了一種算法途徑，其主要能解決的問題題模型是若線段的長度是個定值，其中點為一定點，為平面內任意一點，則可以考慮用極化恒等式解決范圍、最值、定值的求解.本文通過具體的實例，簡單講述極化恒等式在數量積中的應用，體現向量這一工具在數與形轉化中的作用，為學生拓展一個思維角度，引導學生探求向量的代數運算與歐式幾何、解析幾何等數學知識間的聯系，培養學生觀察、分析、解決問題的能力，乃至提高學生建立數學模型的能力.

參考文獻：

【1】《普通高中課程標準實驗教科書.數學4.必修 人民教育出版社A版》

【2】顧平聲?《談向量引入中學教學》

【3】章建躍?《幾何中的向量方法》

四川省甘孜藏族自治州康定中學校?李 波