義務教育階段的數學建模（素養）及其培養

數學素養是現代社會每位公民應該具備的基本素養，數學建模就是其中的一種重要素養。因此，數學課程標準把培養和發展數學建模（素養）列入義務教育階段數學課程目標。培養和發展中小學生的數學建模（素養），既是數學學習所必需，又是學生未來生存和創造的基礎。

一、數學建模的內涵

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建數學模型、解決問題的素養，是數學學科核心素養之一。

在數學上，模型即數學模型（Mathematical Model）的簡稱。所謂數學模型，是指根據問題實際和研究對象的特點，為了描述和研究客觀現象的運動變化規律，運用數學抽象、概括等方法，而形成的用以反映其內部因素之間的空間形式與數量關系的數學結構表達式，包括數學公式、邏輯準則、具體算法或一些特定的數學概念。

數學模型有廣義和狹義之分。廣義地說，數學中的許多重要概念（如方程、函數等）都稱之為數學模型，正如張奠宙教授指出的，“加、減、乘、除都有各自的現實原型，它們都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的”。比如，加法“a+b”可以理解為一個數學模型，它刻畫了三個量a、b、a+b之間的特定關系。狹義地說，只有反映特定問題和特定的具體事物系統的數學關系結構才可以構成數學模型，而且這類數學模型大致可分為兩類：一類是描述客體必然現象的確定性模型，其數學工具一般是代數方程、微分方程、積分方程和差分方程等;另一類是描述客體或然現象的隨機性模型，其數學模型方法是科學研究與創新的重要方法之一。

也就是說，按通行的、比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統和數學關系結構，才叫作數學模型。例如：（1）平均分配物品的數學模型是分數，它描述了總量、份數、一份的量三者之間的關系“總量=份數×一份的量”;（2）370人的年級里，一定有兩位同學同一天過生日，其數學模型就是抽屜原理，即如果每個抽屜代表一個集合，n+1個（或n+1個以上）元素放到n個集合中去，其中至少有一個集合里有兩個元素。

數學建模過程主要包括：在實際情境中，以數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解模型、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。即，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題的數量變化和變量規律，求出結果并討論結果的意義。

二、數學建模的意義和價值

數學建模（素養）的關鍵在于建立模型數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，而建模的關鍵在于學生具備將現實問題與數學內容之間構建關聯的主動意識和能力。

小學最重要的兩個模型是乘法模型與加法模型，即“路程=速度×時間”“總量=部分量之和”。有了這兩個模型，就可以建立方程等模型，去闡述現實世界中的“故事”，進而幫助我們解決問題。小學數學中的大部分問題都可以歸結為這兩種模型。例如：在高速公路上，學生小A坐在幾乎勻速前行的大巴車上。他想知道車輛行駛的速度，但是，他坐在車的后排，看不到駕駛室中的車速表。他不想打攪其他乘客與大巴車司機，而想通過自己的方式解決問題。怎么解決這個問題呢？想知道速度，必須尋找與此相關的其他量。小A自然想到“路程=速度×時間”模型，只要知道路程與時間就可以了。路程好解決，透過玻璃窗，他可以清楚觀察到高速公路上的里程碑。時間怎么辦？由于沒有手表、手機，他想到了自己的脈搏——他平時的脈搏為68次/分。于是，他從37千米的里程碑開始號脈，到38千米時，脈搏跳動了34次，也就是汽車大約半分鐘行駛了1千米。因此，車速是每分鐘2千米，即120千米/時。

在上述問題的解決過程中，小A首先尋找與待解決問題密切相關的數學模型，而后尋找模型中的已知量，進而解決了問題。

在義務教育數學課程教學中，實施數學建模的教學就是要幫助學生理解性掌握數學中的重要概念、原理等所蘊含的數學模型，并在問題解決過程之中主動聯想相關的模型，進而分析解決問題。

三、如何培養數學建模（素養）

1.讓學生親身經歷數學模型建構的過程

數學建模的一般過程可以簡化為現實問題數學化、模型求解、數學模型解答、現實問題解答驗證4個階段。這4個階段實際上是完成從現實問題到數學模型，再從數學模型回到現實問題的不斷循環、不斷完善的過程（如圖1）。

數學化是指根據數學建模的目的和所具備的數據、圖表、過程、現象等信息，將現實問題翻譯轉化為數學問題，并用數學語言將其準確地表述出來。求解是指利用已有的數學知識，選擇適當的數學方法和數學解題策略，求出數學模型的解答。解釋是指把用數學語言表述的解答翻譯轉化成現實問題，給出實際問題的解答。驗證是指用現實問題的各種信息檢驗所得到的實際問題的解答，以確認解答的正確性和數學模型的準確性。

圖1直觀地揭示了現實問題和數學模型之間的關系，即數學模型是將現實問題的信息加以數學化的產物。數學模型來源于現實又超越現實，它用精確的數學語言揭示了現實問題的內在特性。數學模型經過求解得到數學形式的解答，再經過一次轉化回到現實問題，給出現實問題的決策、預報、分析等結果，最后這些結果還要經受實踐的檢驗，完成由實踐到理論再到實踐這樣一個不斷循環、不斷完善的過程。如果檢驗結果基本正確或者與實際情況的擬合度非常高，就可以用來指導實踐，反之，則應重復上述過程，重新建立模型或者修正模型。

數學建模多以現實生活中的問題、其他學科中的問題作為問題情境，這些問題的解決必須借助于學生的數學知識方法和數學解題策略。通過數學建模活動，學生會切身體驗到數學并非只應用于數學自身，它可以解決現實生活中和其他學科中的問題，在現實生活和其他學科中找到用武之地。

“一位成年女士究竟穿多高的高跟鞋是合適的”是一個非常現實的問題。對大多數亞洲女士而言，遺傳原因往往導致為數甚多的女士上身長而下身短，產生視覺上的不協調。“先天的遺憾”需要“后天的彌補”。古希臘人研究發現，當一個人的肚臍眼處在身體的黃金分割點時，視覺效果最好。這就是一個典型的模型，將其抽象為數學模型就是“黃金比線段”，即，尋找給定線段的黃金分割點，形成黃金比例線段。于是，對于現實問題“一位成年女士究竟穿多高的高跟鞋是合適的”進行數學化，可以將其抽象為：

如圖2所示，在線段的下部“接”多長的線段x，使得“接上”線段x之后，在線段a+x中，b+x剛好符合黃金比，即[b+x=5-12·（a+x）]。在小學，這個式子簡寫為[b+x]=0.618[（a+x）]。亦即，滿足上述方程的未知數x為多少時，方程成立。解這個方程得到x，就是數學模型的解。但是，這個解是否符合實際意義，例如x的值為28厘米，就是不切合實際的，因為28厘米的高跟鞋幾乎是不能穿的。

解決問題所需要的模型有兩個：一個是“黃金比線段”，另一個是“一元一次方程”。對于前者，在解決問題的過程中，需要學生在心中事先擁有這個模型，需要將現實問題抽象為“黃金比線段”模型;后者是作為工具出現的模型——一元一次方程模型，但其建立模型的過程被簡化了。上述問題的實際教學中，不僅需要幫助學生親身經歷建立模型、解決問題的過程，更要明晰其中的兩個模型——“黃金比線段”“一元一次方程”，而不僅僅為了解決這一問題，其最終目的在于不斷提升學生問題解決的綜合能力。

2.將數學建模的教學融入方程、函數、不等式等核心概念的教學之中

“方程”概念的形成過程，可以充分體現其中所蘊含的模型思想。

例如：樂樂用72元買了10份漢堡包和爆米花，如果漢堡包每份8元，爆米花每份6元，那么，她買了幾份漢堡包呢？

第一步，分析問題，尋找關系，并用自然語言刻畫。問題中存在多個量，這些量之間存在一些關系，其中存在的相等關系是：

買漢堡包所需錢數+買爆米花所需錢數=總錢數

漢堡包份數+爆米花份數=總份數

漢堡包單價×漢堡包數量=買漢堡包所需錢數

爆米花單價×爆米花數量=買爆米花所需錢數

第二步，用半符號語言表達關系。如果我們用●表示漢堡包的份數，用■表示爆米花的份數，那么，上面的關系可以表示成：

●份+■份=總份數（10份）

8元/份×●份+6元/份×■份=總錢數（72元）

學生從一份漢堡包開始，分組驗證;……

第三步，用數學符號語言表達關系。設買漢堡包x份，那么，上述關系可表示為：

x份+■份=10份

8元/份×x份+6元/份×■份=72元

于是，可以用（10-x）份表示爆米花的份數，從而，可將上面的關系式簡寫為：8x+6（10-x）=72。

上述過程可以用圖表示，如圖3所示：

在上述過程中，我們首先發現用自然語言描述的關系，而后用半符號語言、數學符號語言逐次表示關系，這個過程就是建立數學模型的過程，簡稱數學建模。像8x+6（10-x）=72這樣含有未知數的等式叫作方程。

至于解方程，其基本思路就是，將含有未知數的項放在方程的一邊，將不含未知數的項放在另一邊，進行代數式化簡和計算，即可將方程化為ax=b的形式，進而求出方程的解。

利用一元一次方程解決問題，核心在于方程的建模過程，即：發現問題中的等量關系[？]用等式表達關系[？]用符號語言表達關系[？]用含有未知數的方程表達關系[？]一元一次方程。解方程的要點在于“化繁為簡、化生為熟”的化歸思想。

對初中生而言，方程學習的核心，一方面在于數學建模，另一方面在于解方程：一元一次方程比較全面地展示了其中所蘊含的模型，即用等號將相互等價的兩件事情聯立，等號的左右兩邊相互等價，至于其中的關系是用自然語言表示的，還是用數學符號表達的，都不太重要，重要的是等號左右兩邊的兩件事情在數學上是等價的。對于后者（即解方程），關鍵在于轉化，即將新問題劃歸為以前可以解決的問題，利用已掌握的算法加以解決。這種化歸、迭代的思想正是現代計算機的基本思想。

在義務教育數學學習中，我們必須幫助學生真正體會數學與現實生活密不可分的聯系，體會方程是從現實生活到數學的一種提煉過程，是用數學符號提煉現實生活中的特定關系的一種過程。

在義務教育數學課程教學中，方程、函數（小學數學中蘊含函數的完整內容，只是沒有出現“函數”一詞）、不等式等核心數學內容，都可以有效體現數學模型。即：由數量抽象到數，由數量關系抽象到方程、函數（如正反比例）等;通過推理計算可以求解方程;方程模型構建必須經歷從現實問題中發現等量關系并用自然語言表達，而后采取恰當的半符號語言表達等量關系，最后轉換成符號語言表達等量關系并將已知與未知聯系在一起，形成刻畫等價關系的方程（模型）的過程。有了方程等模型，就可以把數學應用到客觀世界中，而不同的模型所表達的內容不盡相同，各自有所側重。

將數學建模的教學融入基本概念的日常教學之中，采取滲透、專題和系統梳理等途徑，是數學模型的課程教學實施的成功策略。

總之，通過義務教育數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯;學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐經驗;認識數學模型在社會、科學、工程技術等領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神，最終提升數學素養。

責任編輯? 姜楚華

孔凡哲

教育學博士，中南民族大學教育學院副院長、二級教授、博士生導師，中南民族大學教育碩士學位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數學命題專家，國家義務教育數學課程標準研制組核心成員，高中數學課程標準研制組成員，教育部中學教師專業標準研制組成員、義務教育質量監測專家、教育現代化縣級示范區評估專家、哲學社會科學重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學校科學研究（人文社會科學）優秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學優秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學優秀成果獎著作獎等獎項。