“定格”錯誤?搖 “變焦”思維

劉玉喜

[摘? 要] “錯誤是另一種美麗. ”數學學習中生成的錯誤具有獨特的教育價值. “以錯為源”開展教學，定格知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤和心理性錯誤，引領學生進行錯誤反思，可以幫助學生透過“錯誤”看到問題的“本質”，促使學生在不足中克服困難，促使學生在反思錯誤過程中實現錯誤思維糾正和轉化.

[關鍵詞] 初中數學;錯誤;反思能力;思維

戴再平曾說過“在學生解答數學習題的過程中，問題不在于是否存在錯誤，而在于教師應怎樣正確對待學生的錯誤. ”教學實踐中發現，針對學生出現的錯誤進行多次反復講解與剖析，學生仍然會“一錯再錯”，究其原因是對錯誤缺乏深層次反思與總結，因此，必須引導學生學會對錯誤進行反思，將其思維引向深處，使其能發現錯誤產生根源及數學問題的本質，從而尋找到糾錯的有效方法.

■ 反思知識性錯誤，優化學生基

礎認知

數學教材中的概念、定理、運算法則、公式、性質等都屬于基礎知識，是數學解題的根本. 所謂“知識性錯誤”是指數學知識上的理解不清或運用不當而造成的錯誤，比如數學概念和性質混淆不清、忽視數學公式或定理成立的條件等. 教師可以抓住學生出現的具有代表性的知識性錯誤，引導學生反思知識點的內涵和外延，通過尋找知識聯系，夯實數學基礎知識，提高學生的解題思維水平.

例1? 計算：

錯誤解答：

反思過程：

師：你在做題時是如何思考的？

生：我用的是分配律，a÷（b+c）=a÷b+a÷c.

師：那你算下12÷（2+4）是不是等于12÷2+12÷4？

生：結果不一樣.

師：那你回憶下我們學過的乘法分配律是怎么樣的？

生：a·（b+c）=ac+bc.

師：乘法有分配律，但除法是沒有分配律的，認真琢磨這兩個式子就會發現意義完全不同.

反思總結? 這兩道題目錯誤的原因在于學生誤用了乘法分配律，學生在計算過程中往往會為了計算簡便，要么生搬硬套公式，要么隨意創造出根本不存在的公式，比如除法分配律，一旦形成錯誤的思路，就會導致在后續的計算中也會出現同樣的錯誤. 可見，只有讓學生分析乘法和除法運算規則的本質，并有針對性地對其進行糾正，才能加深學生對數學知識的理解，避免再次犯錯.

反思邏輯性錯誤，優化學生思維品質

數學是具有很強邏輯性的學科，其中，邏輯性最基本的表現就是公理. 同一律、矛盾律、因果律、排中律及充足理由律等是數學思維的基本邏輯規律. 所謂“邏輯性錯誤”是指在解題過程中因為違反了上述基本邏輯規律而導致推理的錯誤，比如，因分類不當，導致漏解惑錯解;因不等價交換，造成解集擴大或縮小;因以虛假命題作為推理依據，導致虛假論證等等. 究其原因是學生在解題過程中過多地關注公式的選擇或是解答的正確性，而忽視了題目中的數學邏輯關系. 因此，引領學生反思邏輯性錯誤，在揭示學生錯誤推理基礎上，促使學生對錯誤進行批判性思考，使學生的思維品質得到進一步優化.

例2? 已知■=■，求■的值.

錯誤解答：

由題意可得：x+1=2，2x+y+3=3， 解得：x=1，y=-2，所以，■=-■.

反思過程：

師：同學們對這種解法有意見嗎？

生：錯誤. 只求出了本題的特殊答案.

師：那么該如何求解呢？

生：根據題意可設x+1=2k2x+y+3=3k（k≠0），解得：x=2k-1y=-k-1（k≠0），所以■=■（k≠0且k≠-1）.

師：從以上解題過程你們可以發現什么？

生1：■=■，表示的是A和B的比值為■，而不是A=a，B=b，還可以是A=2a，B=2b，A=3a，B=3b…等等.

生2：不能以特殊性結論代替一般性結論.

反思總結? 這道題錯誤的根源在于學生沒有處理好數學問題中特殊性與一般性之間的關系，學生錯在將一般性問題特殊化處理，屬于邏輯性錯誤. 而這種邏輯性的錯誤就造成了解題的致命性錯誤.

反思策略性錯誤，優化學生解題策略

解題策略的選擇直接關系著解題過程的繁雜、是否能得到正確答案. 所謂“策略性錯誤”是指在解題過程中因解題方法的偏差，導致解題難度增加或思路受阻，即使做對也是耗時耗力. 比如，在求解方程過程中，因變形不當導致計算過程相當煩瑣，稍不注意就容易出現符號或數字錯誤. 選擇一個好的解題策略，能夠對提升解題效率起到事半功倍的作用. 因此，以策略性錯誤為源，引領學生在反思錯誤過程中將多種方法融為一體，并交叉使用，數學問題自然就能迎刃而解了.

例3? 已知a=4+2■，b=4-2■，求a2b+ab2的值.

策略一：將a=4+2■，b=4-2■，直接代入a2b+ab2進行求解.

a2b+ab2=4+2■24-2■+4+2■4-2■2

=16+16■+84-2■+4+2■16-16■+8

=64.

師：上述解的結果有錯嗎？對這種計算方法你怎么看？

生1：雖然每一步都很正確，但比較浪費時間，且非常容易出錯. 我有比較方便的方法：

策略二：先求出a2，b2的值，代入a2b+ab2進行求解.

a2=4+2■2=16+16■+8，b2=4-2■2=16-16■+8，

a2b+ab2=16+16■+84-2■+4+2■16-16■+8=64.

生2：策略二和策略一的解法大體一致，計算量仍然比較大，我還有一種簡便的解題策略：

策略三：先將a2b+ab2進行轉換得：ab（a+b），再代入a，b進行求解.

a2b+ab2=ab（a+b）=4+2■·4-2■4+2■+4-2■=（16-8）×8=64.

師：相比于策略一和策略二，明顯策略三的計算更為簡便，且計算量非常小，不容易出錯.

反思總結? 這是一道有關二次根式化簡求值的題目，重點考查的是學生對乘法分配律的掌握和整體代入求值的思想. 從題目中給出的已知條件來看，策略一和策略二，雖然求解過程沒有什么問題，但無形中增加了很多計算量，增加了學生出錯的可能性. 策略三是此題最佳的解題策略. 通過有意向學生展示不恰當的解題思路，引發學生對解題策略和正確性的反思，從而充分調動學生尋找最優解題策略的積極性，達到優化學生解題策略的目的.

反思心理性錯誤，優化學生認知能力

所謂“心理性錯誤”是指在解題過程中，雖然學生已經具備了數學知識和技能，但因為審題錯誤、忽視隱含條件、疏忽符號變化、焦慮緊張、作答不規范、缺乏反思等心理因素而造成的解題錯誤. 在教學中，針對這類型錯誤，教師應引導學生反思錯誤原因，并適當指導學生審題，幫助學生養成認真審題的良好習慣及遇到困難問題不緊張的學習心態.

例4? 已知關于x的一元二次方程（m2-1）x2+（2m+1）x+1=0有兩個不等實根，求m的取值范圍.

錯誤解答：

生1：根據題意方程有兩個實根，所以判別式：

Δ=b2-4ac=（2m+1）2-4×（m2-1）×1=4m+5≥0，解得m≥-■.

師：其他同學得出的結果和他一樣嗎？結果是否正確呢？

生2：他忘記考慮一元二次方程的隱含條件“二次項系數不為零”.

師：原來忽視了一元二次方程的隱含條件. 生1你是否贊成生2的想法呢？

生1：我剛剛做題比較急躁，認為題目非常簡單，沒有考慮全面，要確保其為一元二次方程，還需要滿足a=m2-1≠0？圯m≠±1，綜上，m的取值范圍應該是m≥-■且m≠±1.

反思總結? 這一道題做錯并不是學生數學知識和技能的缺乏，而是因為在解題過程中的一種急躁心理，導致他忽視了題目中的隱含條件，對問題考慮的不全面，從而造成解題錯誤，這是由于非智力因素而造成的過失性錯誤，屬于心理性錯誤范疇. 作為教師，應從認真審題開始，通過科學指導，培養學生挖掘題目隱含條件和檢驗反思的良好習慣，從而有效提高學生的解題正確率.

結束語

“錯誤”的價值在于充分展示了學生解題思維過程中出現的紕漏，在糾錯過程中引領學生進行反思，幫助其弄清錯誤實質，明確自身數學知識和方法缺陷之處，讓學生在潛移默化中逐漸形成反思習慣，學會分析錯誤原因、歸納錯誤類型，這對于學生數學解題能力提升和良好學習習慣形成具有十分重要的意義.