基于新課程背景下的數學習題教學研究
——以“二次函數的最值問題”教學為例

◇ 甘肅 韓多瑞

二次函數是初中和高中數學課程里最重要的一種函數模型,它是提高學生思維與運算能力的一個載體,是高考和數學聯賽試題的熱點和難點.因此,有必要對二次函數的函數最值問題求解策略進行更深層次的探究.

1 最大(小)值定義

1)一般地,設函數y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足：

a)對于任意的x∈I,都有f(x)≤M；

b)存在x0∈I,使得f(x0)＝M.

那么,我們稱M是函數f(x)的最大值,記作

2)一般地,設函數y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數m滿足：

a)對于任意的x∈I,都有f(x)≥m；

b)存在x0∈I,使得f(x0)＝m.

那么,我們稱m是函數f(x)的最小值,記作

2 二次函數的最值問題解法分析

2.1 利用函數單調性定義求最值問題

所謂的函數單調性也可以稱為函數的增減性,也就是當函數f(x)的自變量在其定義區間內增大(或減小)時,函數值f(x)隨著自變量而增大(或減小),則稱該函數為在該區間上具有單調性.

分析在解這種問題時,我們可以采用函數單調性的定義來解決,即增函數與減函數定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2.若當x1＜x2時,都有f(x1)＜f(x2),則f(x)在這個區間上是增函數；若當x1＜x2時,都有f(x1)＞f(x2),則說f(x)在這個區間上是減函數.

通過讓學生回憶定義并提問的方式,進行課程第一步,然后逐步引導學生進行計算.

解設2≤x1≤x2≤6,有f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1＋x2).

因為2≤x1≤x2≤6,所以x1－x2＜0,則f(x1)－f(x2)＜0,所以f(x1)＜f(x2),所以函數y＝x2－1在該區間為增函數.所以當x＝2時,函數y＝x2－1取得最小值為3；當x＝6時,函數y＝x2－1取得最大值為35.

2.2 用函數圖象數形結合解題

分析像這類考查圖象和單調性的問題,我們可以先將其函數圖象畫出來,根據圖象判斷出函數的單調區間,再用定義法加以證明.而這種方法常常適合于選擇題和填空題.

解根據題目畫出函數圖象,因y＝－x2＋2|x|－3＝所以函數圖象如圖1.

圖1

由圖象可得,函數在區間(－∞,－1)和(0,1)上單調遞增,在區間(－1,0)和(1,＋∞)上單調遞減,最高點是(±1,－2),因此函數在(－∞,－1),(0,1)上是增函數,在(－1,0),(1,＋∞)上是減函數,最大值為－2.

2.3 復合函數單調性判別法

分析這是一道典型的復合函數單調性的求解問題,在進行復合函數的單調性求解時需要根據復合函數的定義,即對于函數y＝f(u)和u＝g(x),如果u＝g(x)在區間(a,b)上具有單調性,當x∈(a,b)時,u∈(m,n),且y＝f(u)在區間(m,n)上也具有單調性,則復合函數y＝f(g(x))在區間(a,b)具有的單調性,規律如表1.

表1

當兩個函數的單調性相同時,其復合函數是增函數；當兩個函數的單調性不相同時,其復合函數是減函數.

解先確定定義域：x2＋2x－3≥0,得到x≤－3或x≥1,所以函數的定義域為

令u＝x2＋2x－3,則；因為在[0,＋∞)為增函數,而u＝x2＋2x－3在(－∞,－3)為減函數,在(1,＋∞)為增函數,所以函數y ＝的單調遞增區間為(1,＋∞),單調遞減區間為(－∞,－3).

在解復合函數問題時,先判斷函數的定義域,然后對復合函數進行拆解.

2.4 導數判別法

根據導函數的定義：如果函數y＝f(x)在x 的某個開區間內,總有f′(x)＞0,則f(x)在這個區間上為嚴格增函數；如果函數y＝f(x)在x 的某個開區間內,總有f′(x)＜0,則f(x)在這個區間上為嚴格減函數.

在用導數判別法進行函數單調性的計算時,還需要注意f′(x)＞0是f(x)為增函數的充分不必要條件,f′(x)＜0 是f(x)為減函數的充分不必要條件.如f(x)＝x3在R上為增函數,而f′(0)＝0,所以在x＝0處不滿足f′(x)＞0.故有可導函數f(x)在某個區間內單調遞增(或遞減)的充要條件為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒為零).

二次函數是高中階段的重點,而函數的單調性又是二次函數的重要部分,所以我們一定要把握好重點,才能用導數來準確判斷函數的單調性.

要求a 則必須消去參數b,c,從而

在這里涉及了導數求最值的一個重要方法,它可以便于學生解決二次函數的求最值問題,即切比雪夫多項式.它的兩個性質如下.

性質1設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c,若對任意的x∈[－1,1],|f(x)|≤1,則|a|max＝2.

性質2對于任意二次項系數為1 的二次函數f(x)必有,當且僅當f(x)＝x2－時,等號成立.所以,在遇到上述的題型時,我們可以直接求其導數,然后求f′(1),f′(),f′(0)即可.

用導數法求函數的單調性及單調區間可以分為以下幾個步驟.

1)確定定義域；

2)求f′(x)；

3)在f(x)的定義域內解不等式f′(x)＞0 和f′(x)＜0；

4)確定函數f(x)的單調區間.

需要注意的是單調區間不以“并集”的形式出現.

3 結語

通過上述相關例題與解析,我們能清晰地找到解決這類二次函數問題的方法.教師的任務就是針對某些問題多研究與反思,嘗試用不同的角度以及數學解題方法揭示問題背后的本質.“授人以魚不如授人以漁”,讓學生從本源上理解問題,學生解決這類問題才能如魚得水,游刃有余.