淺談高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)列教學(xué)設(shè)計思路及實(shí)施方法

◇ 甘肅 郝大偉

數(shù)列是高考考查的重要內(nèi)容.數(shù)列起源于生產(chǎn)與生活,人們在生活中能發(fā)現(xiàn)許多有規(guī)律的現(xiàn)象,這些現(xiàn)象大多數(shù)與數(shù)字有關(guān).例如人們?nèi)ャy行存款的利率,它隨著存款方式、存款年限的不同而發(fā)生變化.要發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律,就需要用到數(shù)列的相關(guān)知識.

1 數(shù)列的定義(概念)

古希臘的一些數(shù)學(xué)家們經(jīng)常研究一些數(shù)學(xué)問題,例如,他們研究1,3,6,10,…,發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的排列都是有規(guī)律的,1可以看成是1顆石子；3可以分2層,第一層1顆石子,第二層2顆石子,一共3顆石子；6可以分3層,第一層1顆石子,第二層2顆石子,第三層3顆石子,一共6顆石子；10可以分4層,第一層1顆石子,第二層2顆石子,第三層3顆石子,第四層4顆石子,一共10顆石子等.這些石子可以擺成三角形點(diǎn)陣,按照這個規(guī)律排列下去,會得到一列數(shù),數(shù)學(xué)家們就將其稱為三角形數(shù).同理1,4,9,16,25,36,…,被稱為正方形數(shù),因?yàn)檫@些數(shù)量的石子可以擺成正方形點(diǎn)陣.

數(shù)列的定義就是一列按照一定順序排列的數(shù),這一列數(shù)中的每一個數(shù)稱為這個數(shù)列的項(xiàng).例如,在數(shù)列中,排在第4位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第4項(xiàng),…,排在第n 位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n 項(xiàng).一般地,數(shù)列可以寫成下面的形式：a1,a2,a3,…,an,…,項(xiàng)與項(xiàng)之間用逗號隔開.一般地,a1,a2,a3,…,an,…,這樣的數(shù)列可以記為{an}.

2 數(shù)列的分類

由于不同數(shù)列是按不同規(guī)律排布的,所以數(shù)列也各不相同.有些數(shù)列可以找到某些規(guī)律,按照數(shù)列的排列規(guī)律可以把數(shù)列分成幾類,分析某一類數(shù)列相同的特征有助于我們更好地認(rèn)識這一類數(shù)列.

按照數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的個數(shù)是否有限,可以把數(shù)列分成有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按照數(shù)列的每一項(xiàng)的大小關(guān)系可以把數(shù)列分成遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列以及擺動數(shù)列.顧名思義,一列數(shù)越來越大,例如1,2,3,4,5,6,7,8,這樣的數(shù)列是遞增數(shù)列；一列數(shù)越來越小,例如100,99,98,97,96,95,94,93,這樣的數(shù)列是遞減數(shù)列；一列相等的數(shù),例如25,25,25,25,25,這樣的數(shù)列是常數(shù)列；一列數(shù)有的大,有的小,可能前一個大,后一個小,到第三個又大了,例如32,－25,64,－98,25,－32,這樣的數(shù)列是擺動數(shù)列.

高中數(shù)學(xué)課程中主要研究兩種特殊的數(shù)列,即等差數(shù)列和等比數(shù)列.

3 數(shù)列的通項(xiàng)公式

我們知道了數(shù)列的前幾項(xiàng),能不能推出它的后面幾項(xiàng)呢? 這就需要知道這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列與函數(shù)有著一定的聯(lián)系,例如一個函數(shù)的解析式為y＝7x＋9,當(dāng)x＝1,2,3,4,…時,此時函數(shù)值為16,23,30,37,…,通項(xiàng)公式可以看成是數(shù)列的函數(shù)解析式,利用通項(xiàng)公式我們可以研究數(shù)列的性質(zhì).

4 數(shù)列的教學(xué)設(shè)計思路

在高中數(shù)學(xué)課程的數(shù)列教學(xué)中,可以先用現(xiàn)實(shí)生活中的例子引出對數(shù)列整體的認(rèn)識,例如：人民幣按面額可以構(gòu)成數(shù)列：100,50,20,10,5,1,0.5(單位：元).

2019年某高中高一(1)班至高一(20)班入學(xué)人數(shù)也可以構(gòu)成數(shù)列：62,61,58,59,60,62,66,59,58,60,61,53,57,60,61,62,59,57,62,56.

以現(xiàn)實(shí)生活中的例子引導(dǎo)學(xué)生直觀理解數(shù)列這一概念,當(dāng)學(xué)生對數(shù)列已經(jīng)有所認(rèn)識之后,再引導(dǎo)學(xué)生對項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)進(jìn)行理解.數(shù)列分類的依據(jù)不同,一種是依據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的個數(shù),一種是依據(jù)數(shù)列的項(xiàng)的大小.

教學(xué)數(shù)列的通項(xiàng)公式時,剛開始只要求根據(jù)一個數(shù)列的前幾項(xiàng)找規(guī)律,再寫出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式,讓學(xué)生先對數(shù)列的通項(xiàng)公式有整體的認(rèn)識和了解.等到研究等差數(shù)列、等比數(shù)列的時候再細(xì)細(xì)研究通項(xiàng)公式.另外還可以通過舉例子的方法,給學(xué)生講解求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法——遞推公式法.

如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))(n≥2)間的關(guān)系可以用一個公式表示,這個公式就是這個數(shù)列的遞推公式.

特別要注意的是并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.當(dāng)學(xué)生認(rèn)識和了解這些基礎(chǔ)概念后,再著重給學(xué)生講解數(shù)列的重點(diǎn)內(nèi)容：等差數(shù)列和等比數(shù)列.

5 等差數(shù)列的教學(xué)實(shí)施方法

等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相類似的地方,本文主要闡述等差數(shù)列的教學(xué)實(shí)施方法.

研究數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)可以先從一些特殊數(shù)列入手,數(shù)學(xué)研究常用的方法就是從特殊入手研究數(shù)學(xué)對象的性質(zhì),再逐步擴(kuò)展到一般.于是在數(shù)列教學(xué)中,可以用現(xiàn)實(shí)生活中遇到的特殊的數(shù)列入手來研究.

案例1一個水庫的水位為18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5.5m,那么從開始放水算起,水庫每天的水位能組成數(shù)列：18,15.5,13,10.5,8,5.5.

案例22000年,在奧運(yùn)會上,女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目,其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列：48,53,58,63(單位：kg).

案例3我國的儲蓄制度規(guī)定銀行以單利的方式支付存款利息,按照單利計算本利和的公式是本利和＝本金×(1＋利率×存期).

例如,按活期存入一萬,年利率是0.72%,那么按照單利,5年內(nèi)各年末的本利和如表1.

表1

各年末的本利和組成了數(shù)列：10072,10144,10216,10288,10360.

讓學(xué)生觀察上面的4個數(shù)列,找一找它們共同的特點(diǎn).這個時候給學(xué)生時間,讓學(xué)生展示自己觀察的成果,互相交流自己所觀察到的特點(diǎn).這些數(shù)列都有一個共同的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù).從而引出所要講授的等差數(shù)列的概念,這個常數(shù)就是這個等差數(shù)列的公差,公差常用字母d來表示,而上面的3個數(shù)列都是等差數(shù)列,公差分別是－2.5,5,72.

特別地,需要注意的還有等差中項(xiàng)的概念與性質(zhì),由3個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列,這時,A叫作a和b的等差中項(xiàng),另外還有2A＝a＋b,這是等差中項(xiàng)的性質(zhì).接著就可以繼續(xù)探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等有關(guān)知識了……

給學(xué)生講解完畢之后,接下來的環(huán)節(jié)是例題講解,習(xí)題鞏固,小結(jié).學(xué)生記住了知識,還要讓他們學(xué)會運(yùn)用,所以練習(xí)題要找好,練習(xí)題也要適合學(xué)生的實(shí)際情況,這樣才能達(dá)到學(xué)會運(yùn)用的目的.