從天體運動中的追及和相遇問題說開去

◇ 山東 李慶艷 王明洲

在一條直線上的追及和相遇問題是直線運動教學的重點,圓周運動中也有追及和相遇問題,在高考中經常出現,特別是考查萬有引力與航天中的追及和相遇的問題更是屢見不鮮.

1 天體運動中的相距最遠和最近問題

天體運動中的追及和相遇問題,即為天體運動中的相距最遠和最近問題,從兩星相距最近開始到下一次相距最近兩星轉過的角度之差為2π,從兩星相距最近開始到第一次相距最遠兩星轉過的角度之差為π.

A.4 B.6 C.7 D.8

兩個軌道半徑的關系是r2＝4r1,由開普勒第三定律可得,解得.某時刻宇宙飛船和同步衛星相距最遠,假設經過時間t1二者相距最近,則有,其中T2＝24h,解得t1＝,設再經過時間t2二者下一次相距最近,則有,解得

因此,在24h內,地面上的接收站一共接收到7次電磁信號.選項C正確.

2 從相距最近和最遠引申出天體運動中的幾何關系

天體相距最近和最遠是非常特殊的幾何關系,在天體運動中,如果避開相距最近或者最遠考查幾何關系,則題目難度將加大.

(1)B 衛星的周期；

(2)A 衛星和B 衛星不能直接通信的最長時間(電磁信號傳輸時間不計).

(2)設A 和B 衛星不能直接通信的最長時間是t,A 衛星轉過的角度是α,B 衛星轉過的角度是α′,那么兩顆衛星不能直接通信是指它在圖1中的B 點和B′點之間,內圓是指地球的赤道,由幾何關系得,B 衛星因為軌道半徑小,運行得要比A 衛星快,有如下關系：α′－α＝∠BOB′,解方程得

天體運動中兩衛星的最近和最遠及其他幾何關系問題,既是對空間想象力的考查,又是對應用數學知識解決物理問題能力的考查,很好地體現了物理學科核心素養中的物理觀念和科學思維.解決該類問題,萬有引力和圓周運動有關知識是基礎,挖掘隱含條件是關鍵.

圖1