絕對值二次函數的性質及應用

◇ 甘肅 呂興金

形如f(x)＝|ax2＋bx＋c|(a≠0)的函數,稱為絕對值二次函數.由于此類函數實際上是由二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與絕對值函數y＝|x|復合形成的一個復合函數,所以我們可以利用二次函數的圖象和性質作為出發點進行研究.

1 性質

二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的判別式為Δ＝b2－4ac,當Δ＜0時,可得函數f(x)的圖象,如圖1；當Δ＝0時,可得函數f(x)的圖象,如圖2；當Δ＞0時,可得函數f(x)的圖象,如圖3.

圖1

圖2

圖3

結合上述圖象,可得如下性質.

2)只有當b＝0時,函數f(x)才是偶函數；否則,函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數.

2 應用舉例

圖4

①f(x)必是偶函數；

②當f(0)＝f(2)時,函數f(x)的圖象必關于直線x＝1對稱；

③若a2－b≤0,則函數f(x)在[a,＋∞)上是增函數；

④函數f(x)的最小值為|a2－b|.

其中正確命題的序號是____.

當f(0)＝f(2)時,因為|b|＝|4－4a＋b|,則a＝1或b－2a＋2＝0,由此易知命題②錯誤.當然,結合圖3也可找到反例說明命題②錯誤.

若a2－b≤0,則二次函數y＝x2－2ax＋b 的判別式Δ＝(－2a)2－4b＝4(a2－b)≤0,所以結合圖1、圖2即知命題③正確.

因為當a2－b＞0時,結合圖3即知函數f(x)的最小值為0,但此時|a2－b|＞0,所以命題④錯誤.

綜上,正確命題的序號是③.

總之,本文主要說明了絕對值二次函數的概念、性質及其在解題中的靈活應用.顯然,此類問題在知識交會點處設計,符合近年新課標高考理念,能夠較好地培養學生在直觀想象、邏輯推理以及數學運算方面的核心素養,故值得我們去關注和學習.