平行線分線段成比例定理的三類應(yīng)用

◇ 山東 王德康

平行線分線段成比例定理是三角形相似問題的進(jìn)一步拓展,也為證明三角形內(nèi)角平分線定理提供了依據(jù),在考查中也常常獨(dú)立作為考題出現(xiàn).下面我們就結(jié)合實(shí)例,來看一看平行線分線段成比例定理的三類典型應(yīng)用問題.

1 長度求解問題

圖1

2 線段相等問題

圖2

圖3

3 直線平行問題

圖4

證法1如圖5,延長AD至G,使DG＝MD,連接BG,CG,因 為BD ＝DC,MD ＝DG,所以四邊形BGCM 為平行四邊形,所以EC∥BG,FB∥CG,所以,所以,所以EF∥BC.

圖5

圖6

證法2如圖6,過A 作BC的平行線,與BF,CE 的延長線分別交于G,H,因?yàn)锳H ∥DC,AG∥BD,所以,所以,因?yàn)镈 是BC中點(diǎn),所以BD ＝DC,故AH ＝AG,因?yàn)镠G∥BC,所以,又因?yàn)锳H ＝AG,所以,所以EF∥BC.

在利用平行線分線段成比例定理解決實(shí)際問題時,往往需要借助一對中間比來達(dá)到解決問題的目的.因此我們應(yīng)注意找到平面幾何圖形中的點(diǎn)與線的位置關(guān)系,合理、正確地添加相應(yīng)的輔助線,構(gòu)造對應(yīng)的中間比,使問題找到通路,從而快速地解決.