“無中生有”巧思維,三角函數妙求解

◇ 山東 萬 剛

在三角函數的化簡、運算、求值、證明恒等式等問題中,經常會“無中生有”——構造常數、相應的參數、特殊平面圖形、平面向量等,進而結合三角函數、平面幾何、平面向量等知識,靈活運用三角基本公式進行求解,往往可以使問題的解決更為有效、快捷.

1 無中生“1”

2 無中生“參”

則

3 無中生“圖”

畫出y＝sin2x,x∈[－3,3]的圖象,如圖1 所示,再由sin2x＞0,易得,故所求函數的定義域為

圖1

4 無中生“向量”

所以f(x)＝2cosx＋sinx 的最大值為5.

5 無中生“等式”

于是,根據sin2α＋cos2α＝1,可得,解得x＝0,即sinα＋cosα＝0,所以sinα＝－cosα.故所求

6 無中生“導數”

cosθ＝－2sinθ.

于是,結合sin2θ＋cos2θ＝1,解得

經檢驗知：前者滿足f(x)取得最大值,后者滿足f(x)取得最小值.故所求

要想真正做到“無中生有”,必須做到“胸有成竹”.平時必須熟練掌握三角函數及其相關知識,多練習,多揣摩,就能不斷達到“無中生有”,融會貫通,提升自己的數學素養,提高自己的解題能力.