基于改進MRNSD算法的電阻抗層析成像

范文茹，李靚瑤，王勃

（中國民航大學 電子信息與自動化學院，天津300300）

碳纖維增強復合材料（Carbon Fiber Reinforced Polymer，CFRP）因其高比模量、高比強度、耐腐蝕、抗疲勞等優點，被廣泛應用于航空航天、國防軍工、民用工業等領域，被公認為先進科學技術領域不可或缺的新材料［1-2］。然而，CFRP在制造和使用過程中可能造成結構損傷，損傷可能存在于纖維本身或聚合物基體內［3］，可能位于材料表面也可能隱藏于材料內部，造成致命損傷。

傳統的復合材料損傷檢測方法如超聲、渦流和紅外成像等在檢測時間和應用場景上有一定的局限性［4-7］。根據碳纖維自傳感特點及結構損傷電學敏感特性提出的電學阻抗檢測方法，具有非侵入、無輻射、響應快等優點，在碳纖維復合材料無損檢測領域已逐步受到國內外學者的廣泛關注［8］。而基于電阻抗檢測原理的電阻抗層析成像（Electrical Impedance Tomography，EIT）方法［9］，近年來也被應用于碳纖維增強復合材料無損檢測。

在電阻抗層析成像過程中，電阻抗場域內邊界電壓數據遠小于網格刨分的數量，這使得EIT逆問題表現出嚴重的欠定性和病態性［10］。目前，一般采用正則化的方法來提高EIT逆問題的穩定性和抗噪能力。Clay和Ferree［11］通過奇異值分解正則化并對不同深度的靈敏度矩陣進行歸一化處理來研究成像逆問題。Gonzalez等［12］將全變差正則化運用于EIT逆問題中，提高了圖像中目標邊界的分辨率。李星等［13］將對角權重正則化應用于EIT逆問題，有效提高了EIT的抗噪能力和重建圖像的質量。范文茹等［14］采用稀疏正則化的方法，減少了EIT逆問題的重建圖像的偽影，提高了EIT逆問題的重建圖像損傷邊緣分辨率。

本文利用CFRP層壓板發生結構損傷導致其電導率值單向變化的特點，結合逆問題求解的非負特性，研究基于修正殘差范數最陡下降法（Modified Residual Norm Steepest Descent，MRNSD），以改善重建圖像質量。同時，為進一步提高成像精度、抑制噪聲以及解決迭代算法的半收斂現象，結合靈敏度映射的預處理方法和軟閉值方法，提出改進的MRNSD算法，并通過仿真和實驗對該算法進行驗證。

1 CFRP層壓板特性

CFRP是由碳纖維和樹脂聚合物組成的復合材料，而樹脂聚合物是絕緣材料，碳纖維是導電材料，且碳纖維的纖維方向的電導率較高，纖維方向的垂直方向和層壓板的厚度方向的電導率較低，因此CFRP的導電性具有各向異性的特點［15］。

通常將CFRP簡化為單層均質連續各向異性材料，定義電導率張量為

圖1 正交型CFRP層壓板模型Fig.1 Orthogonal CFRP laminate model

2 電阻抗層析成像正問題

EIT圖像重建是通過邊界電壓V和輸入電流I得到電導率分布σ′。通過建模和有限元離散化就得到了EIT問題的確定性觀測模型為

式中：U（σ′；I）為σ′和I到V映射的正演模型；R（σ′）為σ′到電阻的映射模型。V=R（σ′）I模型與σ′呈非線性關系，與I呈線性關系。在電導率變化很小的情況下，可以考慮通過線性化方程組的方法來精確地求解EIT反問題。

式中：δσ∈Rn×1為電導率張量模值變化量的分布矩陣，n為重建圖像中的像素數；δUv∈Rm×1為材料損傷前后電壓測量差值，m為測量值個數；σ0為材料初始電導率分布；J∈Rm×n為Jacobian矩陣。

根據四端口網絡的Geselowitz靈敏度定理，靈敏度圖的快速計算方法如下：

式中：u（Id）和u（If）分別為第d次和第f次驅動模式的電勢分布；Jdfe為第d次和第f次驅動的靈敏度矩陣；Vdf為邊界測量電壓；σe為電導率分布矩陣；Ωe為被測區域；d V為對體積的積分。

3 電阻抗層析成像逆問題

3.1 MSRND算法

根據式（3），EIT采用差分成像方法。當CFRP層壓板發生沖擊、分層、裂紋等損傷時，即會出現碳纖維斷裂，進而導致材料電導率減小。因此，差值成像中的δσ可認為是單向變化量。根據先驗信息，保證δU是損傷前與損傷后的電壓差，則式（3）中δσ具有非負特性。利用該特點，結合MSRND算法對CFRP層壓板的EIT圖像重構進行深入研究。

常用的求解EIT逆問題算法，比如共軛梯度算法等無約束Krylov子空間方法，但常用方法沒能考慮到解的非負性［16］，導致成像精度較低。Nagy和Strakos［17］提出了一種非負約束極小化算法，設極小化函數為

式中：σreg為目標電導率分布。

強制非負約束性條件為δσ≥0。令δσ=ez，通過參數化公式（5）可得

式中：G（z）為變換后的最小化函數，z為z域。根據鏈式求導法則，有

令gradzG（z）=0，可以得到該約束極小化問題在δσ空間上的非線性規劃最佳解的必要條件（Karush-Kuhn-Tucker，KKT），得到以下迭代格式：

進一步假設sk=JTrk和pk=Fksk，則可進一步推出

因此，第k＋1次迭代的殘差向量為

算法1MRNSD算法。

輸入：Jacobian矩陣J，迭代初始向量δσ0和迭代終止條件。

輸出：重建電導率δσ。

初始化：δσ=δσ0；s=JT（δUv-Jδσ）；F=diag（δσ）；γ=sTFs。

如果k=1，2，…，則迭代：

p=-Fs

u=Jp

δσ=δσ＋αp

F=diag（δσ）

y=JTu

s=s-αy

γ=sTFs

如滿足終止條件，則迭代停止，否則繼續迭代。

其中：s為中間變量；α為搜索參數。

3.2 預處理改進

預處理經常被用來加速迭代算法的收斂以及提高計算精度。在線性化算法中，由于EIT的非線性和不適定性，靈敏度矩陣直接影響重建圖像的質量。在靈敏度矩陣的計算中采用一些先驗信息，可以使場域靈敏度更加均勻，改善求解的不適定性。靈敏度的歸一化方法在電容層析成像（Electrical Capacitance Tomography，ECT）中得到了廣泛的應用［18］。在此基礎上，提出了一種改進的基于靈敏度映射的預處理器。

靈敏度矩陣J在測量區域邊界附近的靈敏度最大，這導致了物理項的不定性，導致重建圖像的誤差更大。因此，使用平滑預條件校正方案，即

令C =diag（ω1，ω2，…，ωk）且ωk≠0，來保證矩陣C是非奇異，而ωk的有效求法是通過如下求和操作，從而將每個像素的總靈敏度標準化，

式（5）中極小化問題的預處理優化則可描述為：在每次迭代中使靈敏度矩陣J右乘非奇異矩陣C，邊界測量電壓變化值向量δσ左乘非奇異矩陣的逆矩陣C-1。然后將迭代法應用于預處理系統，就可以得到算法2，即預處理修正殘差范數最陡下降法（Pretreatment Modified Residual Norm Steepest Descent，PMRNSD）。

算法2PMRNSD算法。

輸入：Jacobian矩陣J，迭代初始向量δσ0和迭代終止條件。

輸出：重建電導率δσ。

初始化：δσ=δσ0；s=JT（δUv-Jδσ）；F=diag（δσ）；γ=sTFs。

如果k=1，2，…，則迭代：

p=-Fs

u=C-1Jp

δσ=δσ＋αp

F=diag（δσ）

y=JTC-Tu

s=s-αy

γ=sTFs

如滿足終止條件，則迭代停止，否則繼續迭代。

3.3 軟閉值改進

使用共軛梯度等無約束迭代正則化算法求解EIT反問題會出現半收斂現象，MRNSD算法相對較為穩定，但因噪聲的影響，仍然會存在半收斂現象。即重建圖像的質量隨著迭代的進行收斂到某個最優值后，近似解逐漸趨近于一個無意義的被噪聲高度污染的向量，圖像的質量隨之快速下降。如果沒有選擇一個合適的迭代數則可能求解出無意義的解。MRNSD算法出現半收斂現象的主要原因是邊界測量電壓中的噪聲會隨著迭代而擴散，改進算法通過在每步迭代中添加去噪聲算法來抑制噪聲的擴散。

軟閉值方法是一種常用的去噪算法。對任意的向量x∈RN，對于給定μ值，定義軟閉值算子Sμ為

在每步迭代中，將軟閉值方法作用于殘差向量中，得到以下迭代過程：

δσk=δσk＋αkpk

Fk＋1=diag（δσk＋1）

sk＋1=JTrk＋1

pk＋1=Fk＋1sk＋1

另外，根據式（15）中的迭代格式可以得到sk=JTrk和pk=Fksk，則有

改進算法通過在每步迭代中結合正則化方法與軟閉值方法來抑制噪聲的擴散，進而克服傳統算法的半收斂現象，記為算法3，即快速預處理修正殘差范數最陡下降法（Fast Pretreatment Modified Residual Norm Steepest Descent，FPMRNSD）。

算法3FPMRNSD算法。

輸入：Jocobian矩陣J，迭代初始向量δσ0和迭代終止條件。

輸出：重建電導率δσ。

初始化：δσ=δσ0；s=JT（δU-Jδσ）；F=diag（δσ）；γ=sTFs。

如果k=1，2，…，則迭代：

p=-Fs

u=C-1Jp

δσold=δσ

δσ=δσold＋αp

F=diag（δσ）

r=Sμ（r-αp）

y=JTC-Tu

s=s-αy

γ=sTFs

其中：σold為上一次迭代的電導率矩陣；τ為給定參數。

4 實驗及對比

為驗證算法的有效性，分別引入相關系數和相對誤差2個指標對重建圖像進行評價。相關系數re定義為

利用相對誤差對不同算法的收斂性能以及重建圖像的優劣進行評估。

4.1 仿真實驗對比

構建8層各向異性CFRP層壓板模型（見圖1），采用16電極EIT結構。根據CFRP常見損傷類型，構建4種損傷模型，如圖2所示。在板材表面中心區域設置一個高0.16 cm，半徑0.5 cm的圓錐體為沖擊損傷模型1；在板材表面一條對角線上設置2個高0.16 cm，半徑0.5 cm 的圓錐體為沖擊損傷模型2；在板材內部中心區域設置一個半徑為0.5 cm，高為0.12 cm的圓柱體為分層損傷模型；在板材表面中心區域設置一個4 cm×0.2 cm×0.08 cm的長方體形狀為裂紋損傷模型。其中4種模型損傷位置的電導率改變量均為50%。選取被測材料厚度方向中心層XY截面計算靈敏度矩陣J，根據邊界電壓值的變化，利用CGLS、Tikhonov、MRNSD、PMRNSD 和FPMRNSD算法進行圖像重建，結果如圖2所示。

圖2中的小圓圈表示模型的損傷位置輪廓。從對比圖中可以看出，4種算法均可有效地顯示出損傷區域，但相比Tikhonov和CGLS算法，MRNSD算法的重建圖像中的偽影明顯減少，損傷圖像輪廓更準確，邊緣分辨率更高，有效地提高了重建圖像質量。表1給出了圖2中使用不同算法重建圖像的相關系數。可以看到，非負約束算法有效提高了重建圖像與真實分布的相關系數，提高了圖像質量。

4.2 抗噪聲對比

邊界測量電壓中的噪聲會直接影響成像質量。為驗證改進算法抗噪聲的有效性，在成像仿真實驗中對測量數據施加高斯噪聲，即

式中：L為噪聲水平；randn為高斯分布的隨機矩陣。L=1%高斯隨機噪聲是實際測量中的典型噪聲級，將其添加到邊界測量電壓中，通過不同算法得到的重建圖像如圖3所示。為了進一步驗證5種算法對噪聲的魯棒性，將測量電壓中的噪聲水平增加到5%，得到重建圖像如圖4所示。在1%和5%噪聲影響下，不同算法在迭代過程中隨迭代次數增加而變化的相對誤差和殘差范數如圖5和圖6所示。

圖2 CFRP層壓板損傷仿真實驗結果Fig.2 Experimental results of CFRP laminates damage simulation

表1 不同算法的相關系數值Table 1 Value of correlation coefficients for different algorithms

圖3 在1%噪聲下CFRP層壓板損傷仿真實驗結果Fig.3 Experimental results of CFRP laminates damage simulation under 1% noise

圖4 在5%噪聲下CFRP層壓板損傷仿真實驗結果Fig.4 Experimental results of CFRP laminates damage simulation under 5% noise

如圖3、圖4所示，在測量數據中混入了1%噪聲后，傳統算法CGLS和Tikhonov的重建圖像比較算法MRNSD、PMRNSD和FPMRNSD算法更為平滑、模糊，成像目標的輪廓和區域均變大，其抗噪聲能力明顯低于本文中的改進算法。在5%噪聲水平下，傳統算法的重建圖像偽影明顯增多，圖像更加模糊。而本文中的改進算法的重建圖像更加穩定，目標位置更加準確，在高噪聲下具有更好的質量。

4.3 CFRP層壓板實驗

搭建EIT損傷檢測實驗平臺（見圖7）對CFRP層壓板進行損傷檢測。板材長10 cm，寬10 cm，厚0.3 cm，在板材四周均勻放置16個電極，將電流注入和電壓測量的多路復用器與電極相連，實現對電極的循環激勵和循環測量。實驗中，使用精密電流源（KEITHLEY 6221）在相鄰電極施加100 mA 電流，使用多功能開關測量單元（KEYSIGHT 34980A）和電樞矩陣開關（KEYSIGHT 34932）進行其他電極電位的采集，基于LabVIEW 使用系統軟件根據量協議進行開關量的切換。通過接線端子模塊（KEYSIGHT 34932T）將電位數據導入成像程序得到最終的成像結果。

損傷的CFRP層壓板及不同算法的損傷重建圖像如圖8所示。改進算法的重建圖像效果更好，損傷輪廓邊緣分辨率有明顯提高。圖9為CFRP層壓板損傷檢測實驗中不同算法的相關系數對比?？梢园l現，改進算法明顯提高了重建圖像的相關系數，提高了重建圖像質量。

圖7 EIT碳纖維損傷檢測實驗平臺Fig.7 EIT experimental platform for carbon fiber damage detection

圖8 CFRP層壓板損傷檢測實驗結果Fig.8 Experimental results of damage detection for CFRP laminates

圖9 CFRP層壓板損傷檢測實驗相關系數對比Fig.9 Correlation coefficient comparison of damage detection experiment of CFRP laminates

5 結 論

本文通過仿真和實驗研究，分析和驗證了MRNSD及其改進算法對提高CFRP材料的EIT檢測重建圖像質量的有效性，得到如下結論：

1）MRNSD算法強制執行非負性約束使逆問題產生更精確的近似解，有效地減少了重建圖像的偽影，提高了圖像質量。

2）基于PMRNSD算法，使得靈敏度更加均勻，進一步提高了求解精確度。

3）基于FPMRNSD算法，在不同噪聲強度的影響下均實現了最佳迭代次數的自動更新，有效地克服了迭代中的半收斂現象。改進算法的殘差范數值和相對誤差值均小于其他算法，表明改進算法有效地抑制了噪聲。