動力增程型高超聲速飛行器的再入軌跡規劃

馮玥，王容順，梅映雪，孫洪飛，吳了泥

（廈門大學 航空航天學院，廈門361102）

近年來，高超聲速飛行器憑借其飛行速度快、射程遠和突防能力強等優勢，在軍事和民用方面普遍受到重視。高超聲速飛行器的再入返回過程一般是無動力返回，而動力增程型高超聲速飛行器是一類某種攜帶少量燃料動力裝置（助推器）的飛行器。再入過程中飛行器的速度或高度減小到一定值之后，助推器點火對其進行加速補能，從而達到增加航程的目的。由于燃料有限，飛行過程中如何分配助推器的點火時機、點火次數以及點火時長以達到最遠的航程，從而使燃料利用率最高，是動力增程型高超聲速飛行器需要研究的新問題。

高超聲速飛行器的再入過程［1］速度大，受熱流、動壓和過載等過程約束，一般還具有高精度的末端約束，因此軌跡設計是再入返回的關鍵部分。20世紀30年代德國科學家Sanger和Bredt提出擬平衡滑翔概念［2］，1948年錢學森提出了著名的錢學森彈道，為飛行器軌跡規劃問題的研究奠定了基礎。Lu［3］、盧寶剛［4］、張科南［5］等基于擬平衡滑翔條件提出多種軌跡規劃的方法；此外，國外Rao［6］、Elangar［7］等以及國內呼衛軍［8］、雍恩米［9］等基于偽譜法將再入軌跡規劃問題轉化為最優控制問題進行求解；近年來，宋超［10］、楊鵬宇［11］等分別在軌跡優化基礎上考慮了航路點約束問題和故障下的在線軌跡重構問題。根據建模與求解的特點，飛行器軌跡規劃問題可以視作非線性、帶有狀態約束和控制約束的最優控制問題，采用最優控制方法進行求解是自然的選擇。

對于動力增程型這樣的新型高超聲速飛行器，國內外對其軌跡規劃問題的研究缺少相關文獻。在美國學者Carter等［12］的研究中，證實了高超聲速飛行器的周期跳躍彈道可以實現減少燃料消耗從而增大航程的目的。該周期彈道通過助推器脈沖點火來維持飛行器跳躍運動的平均高度，在跳躍彈道波谷點火彌補能量消耗，最終調整飛行器狀態使其達到與上一周期相同。國內藺君等［13］提出了改進的高斯偽譜法（Gauss Pseudospectral Method，GPM），主要解決了分段軌跡規劃的連續性問題，但將動力裝置的點火次數和點火時長設為已知量不作求解，動力裝置的增程作用也沒能顯現。

本文針對動力增程型高超聲速飛行器的再入模式展開研究，發現GPM求解變量多、約束強，解算耗時長甚至難以收斂；而周期跳躍彈道具有周期形式的強約束條件，動力裝置的啟動方式以及飛行器在各個周期的狀態均固定，難以靈活協調助推器燃料利用率和彈道航程大小的關系。因此，本文從周期跳躍彈道增程的本質出發，將周期跳躍彈道的強約束去除，重新研究動力裝置啟動的最佳時機和方式，綜合考慮彈道末端落點的精度，提出一種新的動力增程型高超聲速飛行器再入模式，并在該模式下提出了一種能量損失緩慢的“打水漂”彈道形式。

1 預備知識

1.1 動力學模型

1.1.1 動力學方程

由于高升阻比特性，高超聲速飛行器再入階段的氣動力和地球重力分別約為科氏慣性力和地球自轉引起的慣性離心力的100倍和1 000倍［8］，因此可以假設地球為圓球不旋轉模型，進而得到無量綱三自由度運動方程［14］為

無量綱升力L、阻力D分別為

式中：Sref為飛行器氣動參考面積；CL、CD分別為升力系數和阻力系數，通常由飛行器的迎角α和馬赫數決定；ρ（H）為大氣密度，H為海拔高度。

本文大氣密度模型采用式（3）計算：

式中：β為決定大氣密度指數衰減的常數；ρ0為海平面的大氣密度；Θ為常值。

1.1.2 控制量

在高超聲速飛行器動力學方程（1）中，迎角α、傾側角υ和助推器點火產生的推力F為3個控制量，作為模型的輸入。為滿足飛行器控制能力要求，一般有如下約束形式：

式中：αmax、αmin為攻角取值范圍的上、下限；κ為傾側角取值范圍的上、下限的絕對值；Is為助推器的比沖；tb和mb為助推器工作的總時長和助推器攜帶燃料的總質量。

1.2 問題描述

在本文動力增程型高超聲速飛行器再入模式的研究中，需要解決的問題是設計合理的控制量，使航程盡可能得大。沒有輸入量F的情況下，上述問題可看作無動力返回的軌跡規劃問題，工程上普遍使用GPM來求解最優控制問題的數值解。輸入量F的存在使軌跡規劃問題復雜化，助推器點火的時機、點火次數以及每次點火持續的時長均需要設計，此時GPM 求解難度大，算法不易收斂；而周期跳躍彈道不能合理利用助推器點火補償的能量。再有，單純的跳躍彈道在末端由于跳躍勢必會影響末端落點精度。如何利用“點火次數”、“點火時機”、“點火時長”和“末端落點精度”這4個因素來設計動力增程型再入彈道是本文主要的研究內容。

2 再入彈道的解析解

下面分析助推器無點火情況下再入彈道的解析解形式，以此作為提出動力增程型再入彈道軌跡規劃策略的理論依據。

飛行器再入彈道的解析解一般難以獲得，通常需要相當苛刻的假設條件，為得到再入彈道的航程解析解，需做如下假設：

假設1飛行器在大氣層內運動空域假設處在同溫層，空氣密度變化為式（3）所示，大氣層邊緣距地面為常值Θ（稱距地球表面高度超過Θ的空間為“大氣層外”）。

假設2地球為質量分布均勻的不旋轉圓球體，忽略地球自轉。

假設3飛行器飛行中保持側滑角為零，傾側角為常值，即飛行器在某個縱向平面飛行。

假設4飛行器在Sanger彈道的跳躍階段大氣層內所受空氣動力作用遠大于重力作用。

定義1以飛行軌跡點不再出大氣層的起點為分界點，整個再入過程以此分界點為界，被分為2個階段。該分界點前的再入軌跡稱作“再入前期”，該分界點后的再入軌跡稱作“再入后期”。

圖1為不考慮助推器點火的情況下，高超聲速飛行器再入彈道的示意圖，圖中V0和θ0分別為飛行器第1次離開大氣層的初始速度和初始彈道傾角；G點為再入前期與再入后期的分界點，設G點處是飛行器第N次進入大氣層，那么由定義1可知，再入前期飛行器共進入大氣層N次。

圖1 再入彈道Fig.1 Reentry trajectory

2.1 能量轉換分析

在假設2前提下，研究助推器不工作情況時飛行器的受力情況和能量轉換，則再入過程中以下2個事實顯然成立。

1）飛行器在大氣中僅受3個力作用，分別是空氣阻力、升力以及重力。由各個力的方向與速度方向的角度關系可知，阻力始終做負功、升力不做功、重力雖然做功但不改變飛行器的機械能。

2）飛行器進入大氣層后由于空氣阻力的作用，速度和動能逐漸減小，此時影響機械能的唯一因素是空氣阻力。也就是說，飛行器由起點到終點的運動過程中，動能的消耗都用來克服空氣阻力做功。

結合式（3）的大氣密度模型，由事實1）和2）可知，當V0和θ0以及末端速度、高度固定，飛行器可以通過多次跳出大氣層使能量消耗緩慢，從而達到增程的目的。

由定義1可知，飛行器在再入后期階段不再跳出大氣層。可見，再入前期的軌跡設計是動力增程型再入彈道的關鍵部分，下面推導再入前期彈道的解析解。

2.2 Sanger彈道解析解

再入前期彈道可近似為Sanger彈道，關于Sanger彈道的解析解形式文獻［12，15］已有研究，現作如下總結。

如圖1所示，將彈道的每一次跳躍分為2種軌跡：稱每一次穿越大氣層時對應大氣層外的軌跡為彈道軌跡（Ballistic Trajectory）；相應地稱大氣層內的軌跡為跳躍軌跡（Skip Trajectory）。2種彈道由于物理特性不同需分別求解，那么再入前期的總航程角解析解可以表示為2個航程角分量的和，如式（5）所示：

式中：Vs為第一宇宙速度；Φt為總航程角；g為引力加速度；n為飛行器進入大氣層的次數。

由航程Rt與航程角Φt的關系Φt=Rt/R0，可得到再入前期彈道的總航程解析解。推導過程如下：

令

為方便敘述，以下約定變量的下標e和d分別指進入大氣層和跳出大氣層，n作上標表示次數。

式中：dθ／d s=-1／rc，rc為地球曲率半徑，s為航程。

將d H／d s=-sinθ與式（3）代入式（8）中，并對θ進行積分有

將d s／d t=V代入式（9）中，并對s進行積分，有

結合假設1，不難得到

則式（11）變為

最終，結合式（7）、式（12）和式（13），可知Sanger彈道N個彈道軌跡總航程角為

取R0＋H≈R0，將式（15）表示為密度的方程為

由式（10）可知，跳躍軌跡上的點與起點滿足如下規律：

在波谷點有θv=0。取θ=θv，將式（16）、式（3）代入式（17），求解可得

式中：ys=Hj-Hv為跳躍深度。

當跳躍深度最大時，假設滿足如下關系式：

那么第1個跳躍軌跡航程的最大值可近似表達為

式中：R1為第1個跳躍軌跡的航程。

將式（18）代入式（20），進而得到第1個跳躍軌跡的最大航程角為

類似地，結合式（12）和式（13）可以得到Sanger彈道全部N-1次跳躍軌跡的總航程角為

將式（14）與式（22）代入式（6），即可得到Sanger彈道總航程角的解析解。至此，式（5）的推導完畢。

注1對式（5）進行分析可知，Sanger彈道的航程完全取決于V0、θ0以及飛行器的升阻比；在不超過第一宇宙速度的前提下，初始速度越大航程越大，同時升阻比越大航程也越大。因此，再入前期彈道軌跡的最大航程一定是在合適的初始彈道傾角、最大升阻比和最大初始速度的條件下實現。

3 動力增程型彈道再入描述

為給出動力增程型高超聲速飛行器再入模式，將整個再入過程分為再入前期和再入后期2個階段，根據設計目標的不同，需要分段進行規劃。再入前期通過助推器點火形成等高類周期跳躍彈道，利用注1結論得到動力裝置的啟動方式，保證了航程最遠；再入后期采用擬平衡滑翔形式，解決了跳躍彈道帶來的難跟蹤、機動性能差以及落點精度低等問題。

針對以上描述，給出如圖2所示的動力增程型彈道再入模式（記第i次上升至波峰的點為Pi）。下面將分別介紹再入前期和再入后期的彈道特征以及需要解決的問題。

圖2 動力增程型彈道再入模式Fig.2 Range-extended trajectory reentry mode

3.1 再入前期

為了方便對再入前期彈道進行研究，除上述提出的假設外，還需做以下補充：

假設5地面推進系統已經足夠好，其能夠保證飛行器在最佳初始彈道傾角狀態脫離，順利將其送至預定最大高度，在達到最大高度前，助推器無需點火。

假設6助推器所攜帶的燃料充足，產生的推力為常值推力，其方向與飛行器空速方向的夾角為0°。

設Vc為高度Θ 處的臨界速度，它代表飛行器在該高度下能夠繞地球飛行的最大速度，這個值略低于第一宇宙速度，超過速度Vc飛行器將脫離地球引力束縛。

根據2.1節可以知道，再入前期的軌跡需采用跳躍彈道，在該階段助推器點火，使飛行器盡可能多地跳出大氣層，從而減少能量消耗，獲得更遠的航程。

彈道初期為等高類周期跳躍彈道，助推器點火結束后，彈道呈現自由跳躍的Sanger彈道形式。該階段的軌跡規劃策略是基于彈道解析解得到的，研究動力裝置的最佳啟動方式（包括助推器的點火次數nb、點火時刻τi以及單次點火時長σi，帶下標i的物理量表示其第i次點火的值，i=1，2，…，nb）是該階段彈道設計的難點。

3.1.1 等高類周期跳躍

如圖2所示，等高類周期是指該階段彈道的每個相位周期都具有相同最大高度。助推器的點火發生在此階段，高度限制的存在使得助推器的燃料不能在第一次點火時全部耗盡，因而出現等高類周期跳躍的形式，類周期重復的次數由助推器所帶燃料以及該階段的最大速度共同決定。

因此，該階段需要合理設計助推器的工作方式，使得飛行器速度達到臨界速度Vc前，每個類周期具有爬升至與發射上升段波峰高度Pt相等的能力，如果無法做到一次性耗盡所有燃料，則下次點火耗盡所有燃料，以此類推，最終形成等高類周期跳躍彈道。

注2助推器點火補能的前提是該階段的速度不超過Vc，因此，在飛行器速度大于Vc前，助推器能夠工作至燃料耗盡；否則應在速度達到Vc時，停止助推器繼續工作。

3.1.2 自由跳躍

助推器最后一次點火結束，飛行器由于沒有能量補充而呈現自由跳躍，來回穿梭大氣層使得飛行器能量逐漸消耗，形成波峰高度逐漸減小的Sanger彈道形式。該階段的彈道形式可以根據等高類周期跳躍彈道的最大速度是否達到Vc分為兩類。

若在上一階段燃料耗盡，仍不能使飛行器速度達到臨界速度Vc，那么由于沒有能量補充，速度衰減很快，最終將不再跳出大氣層，此時表現為普通的Sanger彈道。若在上一階段飛行器經多次點火后，速度能夠達到臨界速度Vc，當軌跡滿足一定彈道傾角時，將出現一種特殊的Sanger彈道形式——“打水漂”彈道。該模式下，飛行器以Θ高度的大氣層為分界面，進入大氣后在極短的時間內“反彈”到大氣層外，這種跳躍能量損失少，速度減小緩慢，飛行器能夠重復多次這種“打水漂”跳躍，以基本不變的速度飛行足夠遠的航程，直至速度減小到不足以再跳出大氣層，作為再入前期結束的標志。

3.1.3 軌跡規劃策略

再入前期的首要任務是保證足夠的航程，該階段再入彈道的軌跡規劃需要設計的輸入量為迎角α、助推器點火次數nb、助推器點火時刻τi以及每次助推器點火時長σi。

助推器點火次數nb取決于助推器攜帶的燃料以及等高類周期跳躍彈道的最大速度。結合假設5、假設6和Sanger彈道解析解的結論，再入前期彈道的航程最優一定是在滿足以下條件的情況下實現：

條件2 推器點火時刻τi取每個類周期波峰對應的時刻，第1次點火發生在飛行器達到發射上升段的波峰。

在上述條件下，由皮卡-林德洛夫定理可知，助推器每次的點火時長σi有唯一解。

3.2 再入后期

由于再入后期沒有助推器的點火過程，待設計的控制量中不用再考慮動力裝置的啟動參數，問題相對比較簡單。

這樣看來，再入后期的軌跡規劃問題可描述為一個多約束軌跡優化問題，其本質上可以看作最優控制問題，可以使用求解最優控制問題的一般方法來解決，本文使用GPM進行再入后期軌跡優化問題的求解。

下面結合具體約束與性能指標，給出了該非線性規劃問題的數學表達形式。

3.2.1 約束形式

再入后期由于沒有動力裝置的啟動，飛行過中以飛行攻角α和傾側角υ為控制變量。那么，為了滿足飛行器控制能力要求，通常有式（4a）、式（4b）的控制量約束形式，此外還需滿足式（1）的模型約束［18］。除上述2種約束類型外，本文還考慮了如下過程約束和終端約束。

為保證將飛行器以指定的角度、速度和高度到達彈道終端，還需加上如下終端約束：

式中：tf為終端時刻，帶下標f的物理量表示其在終端時刻的值。

3.2.2 性能指標

再入后期的性能指標綜合考慮航程大小和彈道平滑程度。這里采用式（25）作為再入后期彈道的性能指標：

式中：t0為初始時刻；J為性能指標；w1、w2、w3為權重系數，用于調節優化指標中飛行器飛行航程以及彈道平滑性最優之間的權重，且w1、w2、w3滿足w1＋w2＋w3=1。

最終，所要研究的多約束問題可描述為：在滿足動力學方程約束式（1）、控制約束式（4a）、式（4b）、過程約束式（23）以及終端約束式（24）情況下，尋找合適的狀態軌跡和控制輸入，使得性能指標式（25）最小。

4 仿真結果及分析

仿真在MATLAB環境下進行，首先給出了燃料充足情況下的動力增程型再入彈道的仿真實現，證實了“打水漂”彈道的可實現性，仿真結果表明本文所提出的再入模式具有足夠遠的飛行能力；進而將本文提出的動力增程型再入彈道與已有研究做出對比，仿真結果顯示，本文提出的再入模式能夠充分利用助推器點火補充的能量，使飛行器能夠以更少的燃料飛行更遠的距離，同時獲得更高的末端能量。

4.1 實現流程

第3節中提出的動力增程型彈道再入模式，其計算流程如圖3所示，其中x0為狀態量的初值。

4.2 動力增程型再入彈道的仿真實現

為驗證本文所提出的動力增程型再入彈道的可實現性，在燃料充足的情況下進行仿真驗證，仿真參數如下所述。

2）初始狀態量：z0=6451004 m，V0=7100 m/s，λ0=0°，φ0=0°，θ0=2.1°，ψ0=0°。

圖3 動力增程型彈道再入模式流程圖Fig.3 Flowchart of range-extended trajectory reentry mode

圖4～圖7為該仿真條件下的動力增程型再入彈道的高度、推力、速度、迎角及過程約束隨時間的變化。

圖4 高度、推力隨時間的變化Fig.4 Variations of altitude and thrust changing with time

圖5 速度隨時間的變化Fig.5 Variation of velocity changing with time

圖6 迎角隨時間的變化Fig.6 Variation of angle of attack changing with time

圖7 過程約束隨時間的變化Fig.7 Variations of process constraints changing with time

為方便分析，給出助推器2次點火分別消耗的燃料，以及再入過程中各個階段的航程大小和飛行時間，如表1、表2所示。

表1 助推器點火消耗的燃料Table 1 Fuel consumed by booster ignition

表2 動力增程型再入彈道的基本參數Table 2 Basic parameters of range-extended reentry trajectory

從仿真結果可以看出，再入前期的等高類周期跳躍彈道共點火2次，在第2次點火后，飛行器以合適的彈道傾角達到臨界速度，順利進入“打水漂”狀態。直至速度減小至飛行器不再跳出大氣層，進入再入后期的擬平衡滑翔段，最后以約束的高度和速度結束整個再入過程。最終，仿真得到的動力增程型高超聲速飛行器再入彈道軌跡平滑，飛行器狀態在整個再入過程中滿足各項約束。

4.3 多種彈道形式的仿真對比

為證實本文提出的飛行模式具有高的燃料利用率、驗證彈道解析解推導得出的結論，本節將等高類周期跳躍彈道（記為“彈道1”）分別與以下3種彈道作對比：“彈道2”為文獻［12］中所提的周期跳躍彈道；“彈道3”為在波谷處點火的跳躍彈道；“彈道4”為文獻［12］中提出的GPM 分段優化算法解算出的彈道，選取航程最遠為性能指標，需預設σi與nb。各個彈道仿真條件相同，參數見3.1節。

圖8為彈道1分別與彈道2～彈道4的高度、推力隨時間變化的對比。助推器的啟動方式為本文主要研究內容，因此以下針對助推器發生點火的再入前期彈道進行對比。圖8中，彈道1與彈道4明顯呈現類周期跳躍，而彈道2與彈道3呈現相位周期跳躍。

圖8 不同飛行模式下高度、推力隨時間變化的對比Fig.8 Comparison of variations of altitude and thrust changing with time under different flight modes

同樣地，給出各個彈道的點火次數和每次點火消耗的燃料質量，以及航程大小、再入前期的末端速度和飛行時間對比如表3、表4所示。

表3 不同飛行模式下助推器點火消耗的燃料對比Table 3 Comparison of fuel consumed by booster ignition under different flight modes

表4 不同飛行模式下彈道參數對比Table 4 Comparison of trajectory parameters under different flight modes

下面分別從燃料消耗、航程大小以及能量損耗3個方面進行分析。

1）燃料消耗：結合圖8、表3數據可知，彈道1共點火2次，燃料消耗主要在第1次點火；彈道2、彈道3以及彈道4的前3次點火，燃料消耗量基本相同。彈道1的燃料消耗量以及點火次數均最少，總燃料消耗量約為其他彈道的95%。

2）航程大?。罕?中數據顯示，彈道1的類周期彈道航程明顯大于其他彈道，約為其他彈道的3.47～3.84倍。

3）能量損耗：再入前期結束時，各個彈道高度相同、質量接近（燃料剩余量不同），可以忽略勢能變化的差異，僅考慮動能。由表4可知，彈道1的末端動能大于其他彈道，約為其他彈道的1.04～1.18倍；彈道3具有最大的能量損耗。

所有彈道形式中，彈道1使用的助推器啟動方式，最大限度地將助推器點火補充的能量轉化為飛行航程以及飛行器機械能（體現在末端速度中）；而其余彈道形式為了獲得航程，在消耗助推器能量的同時，還損失了飛行器本身的機械能。為了衡量各個彈道的燃料利用能力，本文提出式（26）來計算各個彈道的燃料利用率ηc，彈道編號c=1，2，3，4。

式中：Rt0=4782.6 km為助推器不點火時的航程；mr為助推器燃料剩余質量；sgn（）為符號函數。

結合表4數據，將計算結果歸一化后分別為：η1=0.699 7，η2=0.099 4，η3=0.044 3，η4=0.156 6?？梢?，彈道1的燃料利用率最高，在式（26）定義下，為其余彈道的4.47～15.79倍；同時，2個類周期彈道的ηc值均高于周期彈道，彈道3值最小。

綜上，本文提出的動力增程型彈道再入模式無論從燃料消耗、航程大小、能量損耗以及燃料利用方面均優于其他彈道，并且優勢是十分顯著的。因此，該飛行模式是相對于其余彈道形式更優的選擇，該模式下的助推器燃料利用率與航程都是在文獻［12-13］基礎上取得了很大的進步。

5 結 論

1）本文設計了一種針對增強型高超聲速飛行器的動力增程型再入彈道，該彈道再入前期通過設計助推器點火方式形成等高類周期彈道保證了航程最優，再入后期看作無動力返回的非線性軌跡優化問題以滿足各項約束條件。

2）從再入彈道的解析解出發，得出了Sanger彈道達到航程最大的條件；進而提出再入前期軌跡規劃策略；最終給出形成等高類周期跳躍彈道的動力裝置啟動方式的解，解決了“高度受限”以及“末端落點精度高”條件下，“點火次數”、“點火時機”和“點火時長”的計算問題。

3）再入后期提出以各項性能指標的加權和作為GPM算法的總性能指標，在航程足夠遠的同時，保證了優化軌跡的平滑程度，通過優化算法求解的彈道符合各項約束條件。

4）綜合考慮每單位質量的燃料燃燒對增程和轉化為飛行器機械能的貢獻；相應地提出評判標準的數學表達式。

5）相對于現有研究成果、不同點火時機形成的彈道以及優化算法迭代的結果，本文提出的動力增程型再入彈道能夠以95% 的燃料獲得3.47～3.84倍的航程和1.04～1.18倍的末端動能，燃料利用率高達4.47～15.79倍。

6）從彈道跳躍方式上重新分析數據，可知，無論形成方式為何，相對于周期跳躍的規則彈道，類周期跳躍的彈道總是能夠更好地將助推器點火產生的能量轉化為機械能儲存在飛行器中，并獲得更高的末端速度和燃料利用率。

7）在大氣密度分層、彈道傾角合適并且燃料充足的條件下，仿真實現了“打水漂”彈道。事實上，這樣的彈道僅僅是理想化彈道，因為實際的空氣環境不可能存在一個曲面將大氣層和真空環境嚴格區分開。但是，這樣的“打水漂”彈道作為一個標準，為實際工程提供了努力的方向。