有限元粘彈性人工邊界的驗(yàn)證

廖志華 梁騰龍

(廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院 廣西 南寧 530001)

一、緒論

利用有限單元法進(jìn)行地震動(dòng)力分析時(shí)，所截取有限元模型尺寸比實(shí)際場(chǎng)地尺寸要小得多，地震波在有限元計(jì)算區(qū)域傳播時(shí)，波動(dòng)很快就傳播到計(jì)算區(qū)域邊界而發(fā)生反射，影響計(jì)算結(jié)果。若要保證在計(jì)算時(shí)間內(nèi)，波動(dòng)傳播不到計(jì)算區(qū)域邊界上，需要截取較大計(jì)算區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，處理辦法為采用遠(yuǎn)置邊界。所謂遠(yuǎn)置邊界就是將人工邊界取與廣義結(jié)構(gòu)距離足夠遠(yuǎn)，其人工邊界采用固定處理，上述處理避開(kāi)了反射波動(dòng)對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)或廣義結(jié)構(gòu)的二次作用，保證結(jié)果精確。當(dāng)?shù)卣饎?dòng)力分析計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，計(jì)算區(qū)域介質(zhì)波速較大時(shí)，采用遠(yuǎn)置邊界需截取較大計(jì)算區(qū)域。有限元計(jì)算是將有限計(jì)算區(qū)域劃分為有限個(gè)單元進(jìn)行分析，在單元大小確定的情況下，若計(jì)算區(qū)域過(guò)大，就會(huì)增加計(jì)算自由度而大量地消耗計(jì)算機(jī)資源。

建立合理的人工邊界來(lái)模擬有限計(jì)算區(qū)域截?cái)嗲暗臓顟B(tài)，同時(shí)能夠合理模擬波動(dòng)在截?cái)嘟橘|(zhì)中傳播是十分有必要的[1]。動(dòng)力學(xué)一般采用人工邊界來(lái)模擬土體輻射阻尼，使得波動(dòng)在截取有限計(jì)算區(qū)域內(nèi)順利透過(guò)人工邊界而不產(chǎn)生反射，邊界應(yīng)力、位移在介質(zhì)截取邊界處與原來(lái)相同，以達(dá)到還原地震場(chǎng)的情況，保證模擬的精度。

粘彈性邊界由Deeks于1994年基于柱面波動(dòng)理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)，彌補(bǔ)粘性邊界存在的問(wèn)題，保證截取計(jì)算區(qū)域邊界既能模擬波動(dòng)穿過(guò)邊界被吸收的情況，同時(shí)模擬地基彈性恢復(fù)力情況。其基本思路是在截取有限計(jì)算區(qū)域邊界上，通過(guò)設(shè)置阻尼來(lái)吸收波動(dòng)，通過(guò)彈簧來(lái)模擬地基彈性恢復(fù)力。粘彈性邊界是目前國(guó)內(nèi)應(yīng)用于波動(dòng)動(dòng)力分析的主要邊界之一，諸多學(xué)者對(duì)粘彈性人工邊界進(jìn)行研究和改進(jìn)并運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題的研究中，驗(yàn)證其適用性并取得許多有意義的研究成果[2]。

二、有限元模型的建立

本文通過(guò)建立模型驗(yàn)證設(shè)置的粘彈性人工邊界的精確度。分別對(duì)遠(yuǎn)置邊界模型和粘彈性邊界模型輸入正弦波，在中心設(shè)置觀測(cè)點(diǎn)，對(duì)比觀測(cè)結(jié)果。其中參數(shù)如下表1所示。

表1 模型的物理參數(shù)Table 1 Physical Parameters of Model

遠(yuǎn)置邊界模型中，左側(cè)長(zhǎng)度L1=400，中間長(zhǎng)度L0=20，右側(cè)長(zhǎng)度L2=400，高度為H=20，寬為10。

粘彈性模型長(zhǎng)L=820，高H=20,寬為10，剛度方程及阻尼方程分別為：

Kbt1=0.5*G4/R cbt1=P4*cs1

Kbn1=1*G4/R cbn1=P4*cp1

圖1 遠(yuǎn)置邊界模型示意圖Figure 1 Model Schematic Diagram of Distant Boundary

圖2 粘彈性邊界模型示意圖Fig.2 schematic diagram of viscoelastic boundary model

三、結(jié)果分析

分別對(duì)建立的遠(yuǎn)置邊界模型及粘彈性邊界模型輸入幅值為0.45的正弦波，得到觀測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程曲線如圖3(b)～(c)所示。

(a)輸入的正弦波 (b)遠(yuǎn)置邊界下的水平位移

(c)粘彈性邊界下的水平位移 (d)兩者對(duì)比 圖3 兩種邊界下的檢測(cè)位移曲線Fig.3 detection displacement curves under two boundaries

由圖3可知，截?cái)鄥^(qū)域邊界處采用粘彈性人工邊界模擬計(jì)算結(jié)果與遠(yuǎn)置邊界模擬計(jì)算結(jié)果在峰值上完全吻合，在非峰值處曲線也具有高吻合度，而采用固定邊界的計(jì)算結(jié)果發(fā)生持續(xù)震蕩。遠(yuǎn)置邊界雖能得到逼近真實(shí)解的計(jì)算結(jié)果，但計(jì)算時(shí)間卻是采用粘彈性人工邊界的模型計(jì)算時(shí)間的50倍左右，這對(duì)于計(jì)算機(jī)資源產(chǎn)生極大消耗和浪費(fèi)。表明采用彈簧-阻尼器組成的粘彈性人工邊界能較好地模擬截?cái)鄥^(qū)域邊界特性，在進(jìn)行動(dòng)分析時(shí)具有相當(dāng)高的計(jì)算精度且有利于節(jié)省計(jì)算機(jī)資源。

四、結(jié)論

通過(guò)分別建立模型、輸入地震波得到檢測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程曲線，得出采用彈簧-阻尼器組成的粘彈性人工邊界能較好地模擬截?cái)鄥^(qū)域邊界特性，在進(jìn)行動(dòng)分析時(shí)具有相當(dāng)高的計(jì)算精度且有利于節(jié)省計(jì)算機(jī)資源。