網格助解三角函數問題

季承潔

初中數學中銳角三角函數是建立在直角三角形的基礎上定義的。但近年來的中考三角函數試題常常脫離直角三角形，需要我們利用網格的特征去構造直角三角形，對轉化能力有更高的要求。下面以2018年揚州市中考第27題為例剖析，希望能給同學們一點啟示。

問題呈現如圖1，在邊長為1的正方形網格中，連接格點D、N和E、C，DN和EC相交于點P，求tan∠CPN的值。

方法歸納求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出（或構造出）一個直角三角形。觀察發現問題中的∠CPN不在直角三角形中。對此，我們常常利用網格畫平行線等方法解決，比如連接格點M、N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中。

問題解決（1）直接寫出圖1中tan∠CPN的值為;

（2）如圖2，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，求cos∠CPN的值。

思維拓展（3）如圖3，AB⊥BC，AB=4BC，點M在AB上，且AM=BC，延長CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長線于點P。用上述方法構造網格求∠CPN的度數。

【分析】第（1）問中點P為非網格點，

∠CPN也不在直角三角形中，如果直接作垂線構造直角三角形，求線段的長度有難度。方法歸納提示我們將CE平移，使得它與DN的交點恰好是格點，再利用平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”解決問題。

第（2）問中，點P也是非網格點，∠CPN也不在直角三角形中，根據方法歸納，我們需要將CM（AN）進行適當的平移，使得它與AN（CM）的交點恰好是格點，再利用平行線的性質“兩直線平行，同位角相等（內錯角相等）”解決問題。

順承問題的思路，第（3）問要求我們構造網格圖去解決問題。我們可以利用網格，構造等腰直角三角形即可。……