變換——讓拋物線演繹新的精彩

崔恒劉

平移、旋轉和翻折是幾何變換中的三種基本變換，近年來，它們攜手拋物線，共同演繹了新的精彩。

一、平移

例1（2019·山東淄博）將二次函數y=x2-4x+a的圖像向左平移1個單位，再向上平移1個單位。若得到的函數圖像與直線y=2有兩個交點，則a的取值范圍是（）。

A.a>3B.a<3C.a>5D.a<52

【解析】我們應先利用配方法將y=x-4x+a化為頂點式，即y=x2-4x+a=（x-2）2-4+a，得頂點坐標為（2，-4+a）。圖像向左平點為（1，-3+a），因此得到的函數解析式為y=（x-1）2-3+a=x2-2x+a-2。再將y=2代入，得2=x2-2x+a-2，即x2-2x+a-4=0。由題意“函數圖像與直線y=2有兩個交點”，所以Δ=4-4（a-4）>0，解得a<5。故選D。

【點評】幾何圖形平移變換后，改變的只是位置，而形狀、大小都沒有變。對于二次函數拋物線而言，平移不改變拋物線的開口方向、大?。ǘ雾椣禂挡蛔儯?。同學們解題時要抓住拋物線平移的關鍵——頂點，由頂點的平移判斷整個拋物線的平移，據此求出函數解析式。

二、翻折

例2（2019·四川資陽）圖1是函數y=x2-2x-3（0≤x≤4）的圖像，直線l∥x軸且過點（0，m），將該函數在直線l上方的圖像沿直線l向下翻折，在直線l下方的圖像保持不變，得到一個新圖像。若新圖像對應的函數的最大值與最小值之差不大于5，則m的取值范圍是（）。

【解析】已知圖像是二次函數y=x2-2x-3上的一部分。我們先求出圖像上的關鍵點：由y=（x-1）2-4，得其頂點坐標為（1，-4）。當x=0時，y=-3，所以A（0，-3）;當x=4時，y=5，所以C（4，5）。

直線l與x軸平行，移動直線l，觀察：當m=0時，如圖2所示，D（4，-5），此時最大值為0，最小值為-5;當m=1時，如圖3所示，此時最小值為-4，最大值為1;當1

【點評】此題將幾何變換的翻折引入二次函數的問題中，解題時我們應結合函數圖像，借助幾何直觀，不斷嘗試操作，改變動直線的位置，找出最大值和最小值的差剛好為5的m的臨界值。