“三線八角”——平面幾何的敲門磚

呂宗儒

中華文化，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，從不少的古詩詞中，我發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的蛛絲馬跡。“君住長(zhǎng)江頭，我住長(zhǎng)江尾，日日思君不見君”，這就像兩道凄美的平行線，永無相交。但是它們“共飲長(zhǎng)江水”，此時(shí)，江水好似兩線間的樞紐，溝通了兩線，形成許多關(guān)聯(lián)。它們形成了幾個(gè)特殊的夾角，分別為：同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角。

你或許已經(jīng)猜到了，這便是鼎鼎有名的“三線八角”模型。這個(gè)模型是初中幾何一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，在判定兩直線平行以及探究角之間的數(shù)量關(guān)系上有著舉足輕重的作用。今天，我?guī)Т蠹艺J(rèn)識(shí)“三線八角”模型。

兩條直線被第三條直線所截，共頂點(diǎn)處的角分別為對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角;不共頂點(diǎn)處有同位角、內(nèi)錯(cuò)角，還有同旁內(nèi)角。分清同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找準(zhǔn)截線和被截線。

如圖1，直線AB、CD分別與直線EF相交，形成了8個(gè)角。

同位角：∠1的兩邊所在的直線是AB和EF，∠5的兩邊所在的直線是CD和EF，它們的公共邊是EF，所以EF是截線，AB、CD是被截線，∠1與∠5分別在截線的同旁，被截線的同側(cè)，故∠1與∠5是同位角。具備這一位置關(guān)系的角還有∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8。

內(nèi)錯(cuò)角：根據(jù)定義可知，這兩個(gè)角應(yīng)該在“內(nèi)”部，并且交錯(cuò)。因?yàn)榻鼐€只有一條，無所謂內(nèi)外，所以這兩個(gè)角一定是在被截線的內(nèi)部，且在截線的兩側(cè)交錯(cuò)。不共頂點(diǎn)處的8個(gè)角中，具有上述位置關(guān)系的角是∠3與∠5、∠4與∠6。

同旁內(nèi)角：根據(jù)定義可知，這兩個(gè)角也應(yīng)在“內(nèi)”部，并且在同旁。因?yàn)榻鼐€只有一條，無所謂內(nèi)外，所以這兩個(gè)角一定是在被截線的內(nèi)部，且在截線的同旁。不共頂點(diǎn)處的8個(gè)角中，具有上述位置關(guān)系的角是∠3與∠6、∠4與∠5。如果你細(xì)心觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)同位角的基礎(chǔ)圖形是任意旋轉(zhuǎn)的“F”字形，內(nèi)錯(cuò)角的基礎(chǔ)圖形是任意旋轉(zhuǎn)的“Z”字形，同旁內(nèi)角的基礎(chǔ)圖形是任意旋轉(zhuǎn)的“U”字形。在一些平面幾何圖形中，都可以發(fā)現(xiàn)它們的身影。

無論AB是否平行CD，這三種特殊角始終存在，且每種角都是兩兩出現(xiàn)，難舍難分，所以千萬別說“∠1是同位角”，而應(yīng)該說“∠1和∠5是同位角”。

找準(zhǔn)了角，有什么用呢？難道是數(shù)學(xué)家閑得無聊給它們起名玩嗎？顯然不是，它們的用處大著哩！

如果AB∥CD，那么以下命題都成立：（1）同位角相等;（2）內(nèi)錯(cuò)角相等;（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

其中，（1）是一個(gè)基本事實(shí)，即公理，而（2）（3）則是其推論，是定理。在幾何題中，它們都可以直接使用。反之，它們的逆定理為：

（4）同位角相等，兩直線平行;（5）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;（6）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

它們也是定理，也可以直接使用。

所以，這小小的“三線八角”模型，蘊(yùn)藏著不小的內(nèi)涵。這個(gè)模型是一把神奇的鑰匙，能夠打開平面圖形的大門;它又是一塊墊腳石，是幾何知識(shí)的基石。在無數(shù)人的心目中，幾何是枯燥的，具有空想色彩，而在真正熱愛數(shù)學(xué)的人眼里，每一個(gè)符號(hào)、數(shù)字、模型都富含朝氣蓬勃的生命，這也是數(shù)學(xué)的最終奧義。

同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角好似小精靈，簇?fù)碇龡l直線，構(gòu)成美麗奇妙的“三線八角”模型。這就是“三線八角”，這就是平面幾何的敲門磚！

教師點(diǎn)評(píng)

這篇數(shù)學(xué)習(xí)作記錄了小作者對(duì)學(xué)習(xí)平面幾何的敲門磚——“三線八角”模型的認(rèn)識(shí)和感受。小作者把“三線八角”模型分析得細(xì)致入微，體現(xiàn)了他對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)借鑒。

（指導(dǎo)教師：王維松）