整式乘法與圖形面積

肖智敏

整式乘法與圖形面積之間有很強的關聯性——面積的表示必然出現二次式，而簡單的整式乘法恰是兩個一次式的積。因此當出現二次式的運算時，我們經常通過圖形對其解讀，進而達到事半功倍的效果。下面通過幾個公式說明兩者之間的關系。

一、教材知識回顧

1.單項式乘多項式——乘法分配律。

我們都知道乘法分配律公式為a（b+c）=ab+ac，但對于這個等式是如何生成的，大部分同學卻不知道。下面用圖形面積的不同表示方法來說明。

如圖1，長方形ABCD中，EF將其分成兩個小的長方形，AB=a，AE=b，ED=c。試用兩種方法表示長方形ABCD的面積。

從整體看，S長方形ABCD=a（b+c），從部分看，S長方形ABCD=ab+ac，因此a（b+c）=ab+ac。

2.多項式乘多項式。

由于已經有了生成單項式乘多項式公式的經驗，探尋多項式乘多項式的變形規律，只要類比即可。

先構造如圖2所示的長方形，EF、GH將其分成四個小長方形。用兩種不同方法表示其面積。

從整體看S長方形ABCD=（a+b）（m+n），從從上面我們可以看出：借助圖形既可以進行整式乘法運算，也可對運算結果進行驗證，甚至可以逆向運算，進行二次三項式的因式分解。

二、類比應用

1.通過面積的表示，探究完全平方式的變形規律并應用。

問題1：如圖3是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成4塊小長方形，然后用4塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖4）。

（1）圖4中的陰影部分的面積為;

（2）觀察圖4，（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關系是=5，xy=4，則x-y=。9;（3）根據（2）中的結論，若x+y

2.通過面積的表示，探究二次三項式的因式分解，并理解多項式乘法與因式分解的關系。……