整式乘法與圖形面積

肖智敏

整式乘法與圖形面積之間有很強的關聯性——面積的表示必然出現二次式，而簡單的整式乘法恰是兩個一次式的積。因此當出現二次式的運算時，我們經常通過圖形對其解讀，進而達到事半功倍的效果。下面通過幾個公式說明兩者之間的關系。

一、教材知識回顧

1.單項式乘多項式——乘法分配律。

我們都知道乘法分配律公式為a（b+c）=ab+ac，但對于這個等式是如何生成的，大部分同學卻不知道。下面用圖形面積的不同表示方法來說明。

如圖1，長方形ABCD中，EF將其分成兩個小的長方形，AB=a，AE=b，ED=c。試用兩種方法表示長方形ABCD的面積。

從整體看，S長方形ABCD=a（b+c），從部分看，S長方形ABCD=ab+ac，因此a（b+c）=ab+ac。

2.多項式乘多項式。

由于已經有了生成單項式乘多項式公式的經驗，探尋多項式乘多項式的變形規律，只要類比即可。

先構造如圖2所示的長方形，EF、GH將其分成四個小長方形。用兩種不同方法表示其面積。

從整體看S長方形ABCD=（a+b）（m+n），從從上面我們可以看出：借助圖形既可以進行整式乘法運算，也可對運算結果進行驗證，甚至可以逆向運算，進行二次三項式的因式分解。

二、類比應用

1.通過面積的表示，探究完全平方式的變形規律并應用。

問題1：如圖3是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成4塊小長方形，然后用4塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖4）。

（1）圖4中的陰影部分的面積為;

（2）觀察圖4，（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關系是=5，xy=4，則x-y=。9;（3）根據（2）中的結論，若x+y

2.通過面積的表示，探究二次三項式的因式分解，并理解多項式乘法與因式分解的關系。

問題2：一天，小嘉在玩紙片拼圖游戲時，發現利用圖5中的三種材料各若干，可以拼出一些長方形來解釋某些等式。比如，圖6可以解釋（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2。

（1）圖7可以解釋為等式：;

（2）用圖5中的基本圖形若干塊（每種至少用一次）拼成一個長方形，使拼出的長方形面積為2a2+3ab+b2，請畫出示意圖，同時在圖中標出這個長方形的長和寬，并將多項式2a2+3ab+b2因式分解。

3.通過合理分割長方形，探究多項式乘法與二次三項式的因式分解，進一步領會數形結合思想。

問題3：【活動材料】有若干如圖5所示的長方形和正方形硬紙片。

【活動要求】用若干塊以上硬紙片拼成一個新長方形（或正方形），通過不同的方法計算面積，探索相應的等式。

（1）小明在活動時想拼出一個兩邊長分別為（a+3b）、（a+b）的長方形，則他需要乙型紙片張，丙型紙片張;（2）試借助拼圖的方法，把二次三項式6a2+7ab+2b2分解因式（要求畫出圖形，并分解因式）;（3）小穎在活動時，共制作了20張硬紙片（每種硬紙片至少一張），用這20張硬紙片能否拼成一個新正方形？

4.通過拼圖嘗試，開拓思維，進一步提升對知識的理解。

問題4：活動材料、要求與問題3的相同。

（1）請選擇適當形狀和數量的硬紙片，拼出面積為2b2+3ab+a2的長方形，畫出拼法示意圖;（2）從這三種硬紙片中選擇一些拼出面積為12ab的不同形狀的長方形，則這些長方形的周長共有種不同情況;（3）現有甲型紙片1張，乙型紙片4張，則應至少取丙型紙片張才能用它們拼成一個新的正方形;（4）取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為a2+nab+24b2，則n可能的整數值有個。

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）