漫談證明

李福良

證明，主要指由已知事實或結論推理未知結論成立的過程。證明從哪來？為什么要證明？證明過程有哪些形式？

證明的由來

在人類歷史上，“證明”這個想法是怎樣產生的？又是什么時候產生的呢？

一般認為，數學證明開始于公元前6世紀。在距今2600多年前，希臘數學家和哲學家泰勒斯證明了幾條幾何定理。到了公元前4世紀，歐幾里得撰寫了不朽巨著《幾何原本》。他從一些基本定義與公理、公設出發，以合乎邏輯的演繹手法推導出400多條定理，奠定了數學證明的模式基礎。

可是，為什么當時的人會想到去證明數學命題呢？許多經過反復實踐的直觀易懂的數學命題，不需要解釋就已經被人們所接納了，比如對頂角相等、直徑把圓平分等命題，難道還需要懷疑嗎？為什么這么“淺顯”的道理也有人去琢磨呢？

這就是證明的魅力所在。

證明不僅僅在于說服別人相信結果的正確性，更反映了推理過程的嚴謹性。這也是數學的魅力所在。

美國前總統亞伯拉罕·林肯曾是一名律師，他的身邊常伴有《幾何原本》。他經常將其拿出來閱讀并研究，直到熟練證明前6卷中的所有命題。他認為書中的演繹證明可以使自己的思維變得嚴謹、縝密，表達條理清楚，對他的職業有幫助。清朝康熙皇帝也在滿文版的《幾何原本》上留有學習時所做的筆記。

證明的必要性

在幾何中，除了公理以外，不論所討論的命題的結論有多么明顯，這些命題都必須通過推理來證明。……