漫談證明

李福良

證明，主要指由已知事實或結論推理未知結論成立的過程。證明從哪來？為什么要證明？證明過程有哪些形式？

證明的由來

在人類歷史上，“證明”這個想法是怎樣產生的？又是什么時候產生的呢？

一般認為，數學證明開始于公元前6世紀。在距今2600多年前，希臘數學家和哲學家泰勒斯證明了幾條幾何定理。到了公元前4世紀，歐幾里得撰寫了不朽巨著《幾何原本》。他從一些基本定義與公理、公設出發，以合乎邏輯的演繹手法推導出400多條定理，奠定了數學證明的模式基礎。

可是，為什么當時的人會想到去證明數學命題呢？許多經過反復實踐的直觀易懂的數學命題，不需要解釋就已經被人們所接納了，比如對頂角相等、直徑把圓平分等命題，難道還需要懷疑嗎？為什么這么“淺顯”的道理也有人去琢磨呢？

這就是證明的魅力所在。

證明不僅僅在于說服別人相信結果的正確性，更反映了推理過程的嚴謹性。這也是數學的魅力所在。

美國前總統亞伯拉罕·林肯曾是一名律師，他的身邊常伴有《幾何原本》。他經常將其拿出來閱讀并研究，直到熟練證明前6卷中的所有命題。他認為書中的演繹證明可以使自己的思維變得嚴謹、縝密，表達條理清楚，對他的職業有幫助。清朝康熙皇帝也在滿文版的《幾何原本》上留有學習時所做的筆記。

證明的必要性

在幾何中，除了公理以外，不論所討論的命題的結論有多么明顯，這些命題都必須通過推理來證明。為什么呢？這是因為，首先，直觀的結論有時會造成錯覺，并不永遠可信;其次，對少數具體例子進行觀察、測量得出的結論，并不能保證所有情況下都成立。

例如，在17世紀，法國數學家費馬曾研究過22n+1這個代數式，當n=0、1、2、3、4時，22n+1對應的值分別為3、5、17、257、65537，都是質數（質數是在大于1的自然數中，除了1和它本身以外，不再含有其他因數的數）。當n=5時，22n+1的數值太大，他沒有計算，于是他便猜測：對于一切自然數n，22n+1都是質數。然而，費馬去世后若干年，瑞士數學家歐拉證明，當n=5時，22n+1=641×6700417，是一個合數。

再比如，圖形的性質不能通過測量得出，如平行線永不相交，這就無法測量。此外，通過推理研究圖形，可以揭示圖形性質之間的聯系，比如兩直線平行，同位角、內錯角、同旁內角之間存在關系。

因此，證明是必要的。

證明的趣味性

在19世紀，有一個農場主，他養豬總是養不胖。于是，他就向生物學家、博物學家達爾文請教。達爾文告訴農場主要多養貓，理由是：貓吃田鼠，田鼠吃土蜂，土蜂給三葉草傳粉;土蜂多了，三葉草便生長得旺盛，而豬吃三葉草，飼料多了，豬就會胖起來。

這就是生物學家眼中的推理。同學們，生活中的推理無處不在。

我們再看一個有趣的證明，請看下列圖形：

從圖1到圖2，都是一個大正方形，里面有4個相同的彩色直角三角形。在這里，相同的圖形用不同的拼接方式，就能說明a2+b2=c（2兩個圖形中，白色部分的面積相等）。這就是著名的“勾股定理”。

用圖形語言就可以表達經典的結論，這種證明方法叫作“無字證明”。

聰明的你，現在觀察圖3，能得到什么結論呢？

（作者單位：江蘇省揚州市江都區教育局教研室）