差之毫厘 謬以千里

金國(guó)平

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在推理證明時(shí)，常常是差之毫厘，謬以千里。下面以同學(xué)們推理證明時(shí)的典型錯(cuò)解為例進(jìn)行分析。

一、“∴”符號(hào)的錯(cuò)誤使用

例1如圖1，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，EF∥AD，EF交AB于點(diǎn)G。求證：∠AGF=∠F。

【錯(cuò)解】證明：∵AD是△ABC的角平分線，1∴∠1=∠2。2

∵EF∥AD，3

∴∠1=∠3。4

∴∠2=∠F。5

∴∠3=∠F，即∠AGF=∠F。6

【錯(cuò)因】第5步使用“∴”，就表示“∠2=∠F”是由“∠1=∠3”得到的，而事實(shí)上“∠2=∠F、∠1=∠3”都是由“EF∥AD”推出的。

【正解】證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2。∵EF∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠F。∴∠3=∠F，即∠AGF=∠F。

二、輔助線的錯(cuò)誤表述

例2已知：如圖2，AB∥CD。

求證：∠E=∠B+∠D。

【錯(cuò)解】證明：如圖3，過點(diǎn)E作AB和CD的平行線EF，則EF∥AB，EF∥CD。∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠1+∠2=∠B+∠D，即∠BED=∠B+∠D。

【錯(cuò)因】作一條輔助線時(shí)，要注意只能讓這條輔助線滿足一個(gè)條件，若還需得到其他條件，則需證明。錯(cuò)解中的輔助線“過點(diǎn)E作AB和CD的平行線EF”是為了讓輔助線EF同時(shí)滿足兩個(gè)條件（EF∥AB和EF∥CD）。這種作法違背了“一條輔助線只能滿足一個(gè)條件”的原則。

【正解】如圖3，過點(diǎn)E作EF∥AB，證明過程略。

要提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力，同學(xué)們首先需熟練掌握教材上的相關(guān)概念、法則、基本事實(shí)和定理，說理時(shí)要言之有理、言之有據(jù);其次，要正確地理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義和輔助線的表達(dá)要求;最后，要多寫多說，對(duì)平時(shí)的錯(cuò)誤及時(shí)反思，在弄清錯(cuò)因的基礎(chǔ)上糾正提高。

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)小紀(jì)中學(xué)）