“同心協力”策略研究

王宦

【摘 要】本文對同心鼓的顛球模式及發力情況進行了分析，建立多個參數模型對顛球策略進行了優化，并基于接球瞬間拉平鼓面對原有策略進行了修改，最終應用在現實情形中的“同心協力”項目。對問題一，首先利用繩子的長度L和初始的角度α進行標量乘積變換，得出同心鼓在拉力的作用下上升的高度區域。再通過球從鼓面中心上方落下的高度與同心鼓上升的高度進行差值化，確定了鼓面已經上升時與球重力做功時的距離范圍，初步算得h的值域。再建立一個參數模型，假設在完全彈性碰撞時，利用能量守恒定律和動量守恒定律使得剛接觸到鼓面的排球速度V1和鼓被拉動的速度V2“相交換”，將顛球高度的范圍模型化，終值范圍大于40cm。對問題二，首先根據已知參數信息，對表1的9組數據進行分析。表1中存在隊員發力不均衡或發力時間延遲的情況，此時使拉力使得鼓面傾斜，鼓在運動過程中具備一個特定的角速度。同時，根據剛體的軸轉動原理，較大拉力一方所具備的角速度大于與之相對的方向的拉力一方的角速度。將8個組員的拉力分解為垂直向上的力和處于平面上的力，再把合力結合剛體的軸轉動公式求出鼓的角加速度，根據積分原理求出0.1s時的傾斜角度。

【關鍵詞】微元;剛體;動量守恒定律;類平拋運動;光的反射

一、問題分析

問題一要求我們研究“同心協力”項目的最佳策略，并給出該策略下的首先需要確定已經上升的鼓面與球重力做功之間的數學關系。考慮使用繩子的長度L和初始的傾斜角度α進行標量乘積變換，確定同心鼓的上升高度范圍。再進行整體的參數模型建模，基于完全彈性碰撞的假設下，根據能量守恒定律和動量守恒定律來建立顛球高度模型。考慮到待優化參數較多，可對參數迭代優化，得到值域。

問題二要求我們結合給定的隊員發力情況的參數，給出0.1s時鼓面的傾斜角度。由于在現實情形中，隊員發力時機和力度不可能做到精確控制，鼓面無法一直保持水平。因此，隊員的發力情況和鼓面的傾斜角度密切相關，就會出現表1所給出的各種鼓面傾斜情況。在建立模型時，只有對每組組員的發力時機和用力大小進行綜合分析，才能保證結果的準確性。首先，要對力進行抵消和分解的模擬，問題的重點在于如何確定力的方向。其次，還需從物質運動過程的角度考慮，分析鼓傾斜的時機，對力進行組合，選擇剛體的軸轉動公式演算出鼓傾斜角速度的加速度，作為得出鼓的傾斜角度的前提。

二、模型建立與求解

（一）問題一模型的求解

在理想狀態下，每個人可以精確控制用力方向、時機和力度，因此可以將力度看成一個關于角度的函數，使向上的力為恒力。此時，鼓進行勻加速直線運動，而排球只受重力，進行自由落體運動。根據動量守恒定理，球重力做功至鼓面的瞬時速度和鼓面與球接觸時的瞬時速度進行交換。基于完全彈性碰撞的假設，排球落下時只受重力做功，顛起來時也只需克服重力做功，因此排球的速度應當和鼓的速度是一對方向相反，大小相同的量。

動量守恒定律：一個系統不受外力或所受外力之和為零，這個系統的總動量保持不變，這個結論叫做動量守恒定律。

問題一給定的條件是在理想狀態下，因此我們可以看成一個子母球模型。

能量守恒定律：在只有保守力做功的情況下，系統能量表現為機械能，動能和勢能的能量守恒具體表達為機械能守恒定律。

由于排球落至鼓面和鼓面上升接觸排球的初速度均為0，所以只考慮末速度的情況。排球在彈起的過程中只需要克服重力做功，而排球的下落距離與顛球高度又相等。因此排球的末速度和鼓的末速度是一對大小相等，方向相反的量。此時兩個公式聯立，就可以得到排球的末速度。

可以得出球實際下落的高度是（40-Lsinα）cm

將其代入公式中：

我們最后可以得出力在豎直方向上的分量為1.95N，在繩水平面的夾角的大小為1.7°且繩長為1.9m時，人使用的力為82.81N。

（二）問題二模型的建立

在問題2中，我們采取建立二維坐標系的方法。通過將鼓看成是剛體，利用剛體的轉軸模型進行運算。指的是在大家同時抬起鼓的瞬間還未發力，延遲了0.1s后才開始發力，即0.1s時的力為0。

我們將單獨一個方向的力進行十字拆分。那么可以得出8個向上的分力，再將向上的力進行組合，合并為向上拉力。同時在水平方向上的6個力相互抵消，只剩下①和⑤的平面分力，兩者進行差值化運算即可得出水平方向上的合力，通過求出力的矢量和，得到一個合力。

將豎直方向的面單獨取出，建立一個直角坐標系，求出其夾角。同時因為剛體的轉軸定理，支點就在將力反向延長后離反向延長線的矩形的角上，通過做垂線段，在坐標系上利用點到直線的距離公式，求得力矩。再通過剛體的轉軸公式求得相應的角加速度，而角加速度是角速度與時間的積分之商，因此角速度的值即可知道，之后通過角速度和時間的乘積的積分即可求出相應的偏轉角度。

排球落下的時間為0.2 。

在進行力的分配，因為比例是1;2

所以兩位同學根據自己所在的角度分別減少使用13N和26N即可。