基于多項式擬合的中階梯光柵光譜儀譜圖還原

朱繼偉，孫 慈，楊 晉，馬婷婷，郭雪強，張 健

(1.長春長光格瑞光電技術有限公司，吉林 長春 130102；2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033)

1 引 言

中階梯光柵光譜儀因其高分辨率、高衍射效率在光譜分析領域中有著重要的應用[1-5]。中階梯光柵光譜儀的主色散元件為中階梯光柵，這種光柵具有低刻線密度、高衍射級次的特點，由于其自由光譜區很短，所以在應用時需要使用不同的衍射級次來實現寬的光譜范圍。同時，中階梯光柵存在很強的光譜級次重疊，通常需要其他色散元件實現級次分離[6]，這種組合色散的方式，在像面上就形成了二維交叉色散光譜。這種光譜的接收像元與波長間并無直接關系可循，無法直接獲得所需波長或波段的強度信息，須經過大量的分析計算，通過譜圖還原算法，將二維圖像信息轉化為一維的波長與光強對應的光譜曲線，最終實現多元素的瞬時光譜分析。

傳統的中階梯光柵光譜儀的譜圖還原算法是采用光線追跡法確定接收像面上像元與波長的對應關系。對于任意波長，結合中階梯光柵光譜儀的結構參數可基于幾何光學原理的光線計算，精確追跡出該波長在像面上的位置，但是中階梯光柵光譜儀通常會使用上百個級次，光譜數據量十分龐大，因此這種算法追跡過程繁瑣，計算效率有待提高[7]。近年來，長春光機所提出了一種基于公式歸納法的譜圖還原算法，即結合中階梯光柵光譜儀的光學設計參數，通過角度偏移近似建立簡化的譜圖還原模型，從而提高模型的建立速度和運算效率，經過多年的發展，這種算法已在工程上得到應用[8-11]。然而，隨著應用要求的不斷提高，中階梯光柵光譜儀的光路設計越來越復雜，不僅結構形式多變，為校正各種像差，在光路中也會插入多個校正鏡[12-15]，從而這種簡化模型的譜圖還原算法在模型建立的難度上也在不斷提高，運算速度也因此受到影響。

本文以采用中階梯光柵和棱鏡組合色散方式及采用柱面鏡進行像散校正的中階梯光柵光譜儀為研究對象，結合光線追跡方法，分別對中階梯光柵光譜儀棱鏡色散方向和光柵色散方向上波長與光斑的位置坐標進行多項式擬合，進而建立了波長與像元的對應關系，并將獲得的譜圖還原模型實際應用到中階梯光柵光譜儀中。該算法計算過程簡單有效，運算效率高，靈活性強，適用于各種中階梯光柵光譜儀。

2 中階梯光柵光譜儀

2.1 光路結構

圖1 中階梯光柵光譜儀光路Fig.1 Optical path diagram of echelle grating spectrometer

本文算法所采用的中階梯光柵光譜儀的光路結構如圖1所示。光束從小孔入射后經球面鏡準直，以平行光形式入射到以準李特羅角放置的中階梯光柵，經光柵色散后，由棱鏡在垂直于光柵色散方向上繼續色散，交叉色散后的光束通過球面反射鏡，并經過具有校正像散作用的柱面鏡后成像在CCD像面上。該中階梯光柵光譜儀的技術指標如表1所示。

表1 中階梯光柵光譜儀的技術指標

2.2 二維譜圖

為避免級次重疊問題,中階梯光柵光譜儀采用交叉色散的方式，通過輔助色散元件在面陣CCD像面上形成二維譜圖，圖2為中階梯光柵光譜儀自由光譜區內的二維譜圖示意圖。其中，X方向為棱鏡色散方向，Y方向為光柵色散方向，每條譜線對應一個光譜級次。譜圖還原算法就是將像元位置與波長、級次一一對應，同時，通過CCD所獲得的每個像元點的光強信息，建立起波長、級次與光強的一維譜圖信息。圖3為二維譜圖轉換為一維譜圖的過程。

圖2 自由光譜區內二維譜圖示意圖Fig.2 Schematic diagram of two-dimensional spectrogram in free spectrum region

圖3 譜圖還原過程示意圖Fig.3 Schematic diagram of spectrogram reduction process

3 譜圖還原算法

本文的研究對象為交叉色散式中階梯光柵光譜儀，該光譜儀的中階梯光柵具有偏置角，偏置角方向垂直于光柵色散方向，光束在偏置角方向上反射，在其垂直方向上色散，棱鏡色散方向為水平方向。根據中階梯光柵的錐面衍射方程[16]：

mλ=d·(sinα+sinβλ)·cosω,

(1)

式中：α為入射角，βλ為衍射角，ω為光柵的偏置角。各個級次的中心波長λcen為：

(2)

由此可知，不同衍射級次的中心波長在像面上垂直方向位置相同，而在儀器中不同波長在水平方向上的位置由棱鏡決定。因此，棱鏡與光柵的色散相互獨立，分別決定各個波長在像面上的X坐標和Y坐標，可根據此特性在X方向和Y方向上分別建立擬合方程，獲得波長與光線的位置關系。擬合原理如圖4所示。

圖4 譜圖還原過程擬合原理Fig.4 Principle diagram of spectral reduction process fitting

3.1 棱鏡色散方向

棱鏡色散決定不同波長在像面上的X坐標，棱鏡的色散方程[16]為：

(3)

式中:i0為棱鏡入射角，φ為棱鏡頂角，iλ為光線出射角，nλ為不同波長的折射率。在棱鏡色散方向上，由于中階梯光柵光譜儀的自由光譜區很小，不同波長可能對應著不同的光譜級次，但是不同波長的光線對應著不同的出射角，即在像面上X坐標位置不同，且在長波方向上級次間隔逐漸變小，在短波方向上，每個級次的斜率越來越大。本算法采用多項式擬合的方式對波長位置進行計算，可選擇各個級次的中心波長建立X方向的多項式。具體擬合過程如下：

(1)選擇N個不同級次的中心波長λm1-cen，λm2-cen，…，λmN-cen；

(2)追跡出這些波長的X方向位置，得到Xm1-cen，Xm2-cen，…，XmN-cen；

(3)根據坐標點(λm1-cen，Xm1-cen)，(λm2-cen，Xm2-cen)，…，(λmN-cen，XmN-cen)進行多項式擬合，得到多項式x=f(λ)，由此可獲得各個波長在像面上的X坐標。

為保證擬合多項式的準確性，在波長的級次選擇上，長波波段采用的級次間隔比短波波段級次間隔大一些。

[56] Donald Rothwell, Freedom of navigation in the South China Sea: Australia must take a stand, Australian Strategic Policy Institute, June 14, 2017, https://www.aspistrategist.org.au/freedom-navigation-south-china-sea-australia-must-take-stand/.

3.2 光柵色散方向

光柵的色散方向決定光線的Y坐標，在該方向上，需計算出每一個級次自由光譜區內各個波長的Y坐標。由于使用級次較多，若逐一追跡每個級次的波長對應的成像位置，工作量太大。因此，本算法采用級次間擬合的方式，具體步驟如下：

(1)使用已選擇的中心波長，其所處級次的自由光譜區為Δλm：

(4)

進而得到各級次自由光譜區域內其他4個波長值λm-max，λm-max1，λm-min，λm-min1，其中:

(5)

(6)

(7)

(8)

(2)追跡出以上波長的Y坐標，得到Ym-max，Ym-max1，Ym-min，Ym-min1；

從而可知任意級次的5個波長的Y坐標，得到每個級次的5個坐標點(λm-max，Ym-max)，(λm-max1，Ym-max1)，(λm-cen，0)，(λm-min，Ym-min)，(λm-min1，Ym-min1)；

(3)根據獲得的數據點坐標進行級次間擬合，取M個級次，則：由(λm1-max，Ym1-max)，(λm2-max，Ym2-max)，……，(λmM-max，YmM-max)進行多項式擬合得到y1=f(x)；由(λm1-max1，Ym1-max1)，(λm2-max1，Ym2-max1)，……，(λmM-max1，YmM-max1)進行多項式擬合得到y2=f(x)；由(λm1-min，Ym1- min)，(λm2- min，Ym2- min)，……，(λmM- min，YmM- min)進行多項式擬合得到y3=f(x)；由(λm1-min1，Ym1- min1)，(λm2- min1，Ym2- min1)，……，(λmM-min1，YmM-min1)進行多項式擬合得到y4=f(x)。這樣，通過上述式子可獲得除已選級次之外的各個級次的5個相應波長的Y坐標位置；

(4)進行級次內擬合，通過上述過程可獲得每個級次內5個點的Y坐標位置，即(λm-max，y1)，(λm-max1，y2)，(λm-cen，0)，(λm-min，y3)，(λm-min1，y4)，在級次內對這些點進行多項式擬合，可得到Y=f(λ)。

進而可獲得任意波長的Y坐標，其中，級次內的取點可根據實際情況進行增加或減少。

4 實驗結果與分析

4.1 譜圖還原算法精度實驗

表2 譜圖還原模型結果與光線追跡結果對比

中階梯光柵光譜儀的工作范圍覆蓋190～600 nm，使用中階梯光柵的第44～138色散級次，選取該級次范圍內的邊緣級次和中間級次作為對比級次，其中44,138級次為多項式擬合使用級次，且非擬合所用波長所在級次，46，91，135級次為非擬合級次。

在整個擬合過程中，選取第44，46，91，135，138級次自由光譜區內的上邊緣波長、中間波長和下邊緣波長，共計18個波長，進行理論位置追跡并與采用擬合模型計算所得的坐標位置進行對比，對追跡與擬合數據保留了小數點后5位，所有數據進行了四舍五入處理。

該中階梯光柵光譜儀在設計過程中相鄰級次間隔至少為一個像元，因此，相應的譜圖還原模型誤差需小于一個像元。從對比數據中可以看出，在X方向上，誤差最大約為24 μm，在邊緣級次44級的邊緣波長處，該級次為擬合使用級次，造成較大誤差的原因為該級次自由光譜區較大，所涉及波長擬合個數要比短波處相對多，但已滿足使用要求。在Y方向上，各個級次的波長均與理論值吻合較好，具有較高的擬合精度。在整個譜圖內該算法的坐標擬合誤差小于一個像元，可以滿足實際應用需求。

4.2 譜圖還原算法實際對比實驗

中階梯光柵光譜儀的主要作用是獲得所需波長或波段的光信號強度，輔助其所集成檢測系統完成物質成分的定性和定量分析。因此，需要建立探測光束波長與強度的精確對應關系，即光譜標定。為驗證所提出的基于多項式擬合的中階梯光柵光譜儀譜圖還原算法的準確性，分別采用該算法與傳統基于公式歸納法的譜圖還原算法對同一臺中階梯光柵光譜儀進行光譜標定，對比兩種算法的標定結果。

光譜標定過程中，依據譜圖還原算法將探測器接收光斑的位置坐標與其波長精確對應，將中階梯光柵光譜儀特有的二維譜圖還原成波長與強度的一維光譜數據。實驗過程采用氬汞燈作為特征光源，在儀器工作波段即190～600 nm內，選取253.656，296.728，302.150，334.148，404.650，407.783，576.961，579.067 nm，共計8個能量較強的特征峰波長作為對比波長。通過所提出的基于多項式擬合的譜圖還原算法與傳統基于公式歸納法的譜圖還原算法分別進行光譜標定，得到的波長數據對比如表3所示。

表3 兩種譜圖還原算法的光譜標定結果對比

由表3可知，基于多項式擬合的中階梯光柵光譜儀譜圖還原算法相較傳統的公式歸納法，還原精度基本在一個水平，在可見光波段相對更高，在靠近紫外區域雖相對低，但還原精度基本小于儀器的光譜分辨率指標0.02 nm，可以滿足實際應用要求。

采用公式歸納法需基于幾何光學原理建立光束經過儀器內部每一光學元件后位置相對于接收表面的變化，從算法的構建到編程實現，過程復雜，尤其是對于內部組件較多的光學結構，應用難度較大。而采用多項式擬合的譜圖還原算法，基于中階梯光柵光譜儀采用組合分光元件分別在橫縱兩方向獨立色散所形成的二維譜圖特點，直接通過位置坐標擬合實現譜圖還原標定，操作簡單，通用性強。

5 結 論

本文設計了一種基于多項式擬合的中階梯光柵光譜儀高精度譜圖還原算法，通過級次間擬合的方式，只需追跡少量的光線即可獲得整個譜段內波長的成像位置，該方法可實現快速、高精度的譜圖還原模型建立。將研究結果應用于棱鏡-光柵交叉結構的中階梯光柵光譜儀中，驗證了所建立模型的計算誤差最大為0.023 92 mm，即所構建的譜圖還原模型在整個像面內的坐標誤差均小于一個像元。通過與傳統譜圖還原算法的光譜標定結果對比，標定精度基本持平，波長準確度優于儀器的光譜分辨率指標。該算法無需考慮中階梯光柵光譜儀內部結構以及像差校正，只需關注光線在像面上的成像位置，模型建立具有很強的實用性和靈活性，不受限于復雜光路結構，適用于各種類型的中階梯光柵光譜儀。