反思學(xué)生解題錯誤 避免課堂教學(xué)失誤

周榮偉 (江蘇省錫山高級中學(xué)匡村實驗學(xué)校 214154)

1 問題提出

案例1在“全民皆宅”的2020年春節(jié)期間，我無意中被一個抖音吸引住了視線，標(biāo)題是“你會解只有x的方程嗎？”題目是“解方程：xx=x．”于是微信推薦給了同樣“閑得無聊”的學(xué)生們求解．不少學(xué)生面對該陌生方程一臉茫然、毫無辦法，也有些學(xué)生脫口而出、秒回答案.學(xué)生的解答大致集中在以下幾種：

解答1x= 1．

解答2x=-1．

解答3x=±1．

案例2(2017年江蘇無錫中考題)某地新建的一個企業(yè)，每月將生產(chǎn)1 960 t污水，為保護環(huán)境，該企業(yè)計劃購置污水處理器，并在如下兩個型號中選擇：

污水處理器型號A型B型處理污水能力(t/月)240180

已知商家售出的2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元，售出的1臺A型、4臺B型污水處理器的總價為42萬元．

(1)求每臺A型、B型污水處理器的價格；

(2)為確保將每月產(chǎn)生的污水全部處理完，該企業(yè)決定購買上述的污水處理器，那么他們至少要支付多少錢？

解析 第(1)題是常規(guī)題，用二元一次方程組可求出每臺A型污水處理器的價格是10萬元，每臺B型污水處理器的價格是8萬元．

由于①式是不等式，故②式無法通過消元轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)；或者把②式變形后代入①式，得到一個二元一次不等式．這兩種常規(guī)的演繹思路都導(dǎo)致無法往下解答，因此該小題的得分率極低．

2 課本再現(xiàn)

(蘇科版七上4.2節(jié)) 解一元一次方程．

怎樣求一元一次方程2x+ 1 = 5, 2x- 1 = 5, 3x- 2 = 4x- 3中未知數(shù)的值呢？

填表：

x123452x + 1

當(dāng)x=時，方程2x+ 1 = 5兩邊相等．

分別把0, 1, 2, 3, 4代入下列方程，哪一個值能使方程兩邊相等？(1)2x- 1 = 5；(2)3x- 2 = 4x- 3．

能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程得解．求方程的解的過程叫做解方程．

(蘇科版七下11.2節(jié)) 不等式的解集．

分別說出使下列不等式成立的x的值：

(1)x- 3 > 0；(2)x- 4≤0．

一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集．求不等式解集的過程叫做解不等式．

3 反思改進

3.1 “精準(zhǔn)”解題教學(xué)——由注重寫出答案到強調(diào)解題過程

眾所周知，小學(xué)到初中一個比較明顯的轉(zhuǎn)變就是從過分追求答案到強調(diào)規(guī)范解答．小學(xué)生更多的是算術(shù)思維，直接指向問題解決的答案，而初中生應(yīng)該是以方程、不等式、函數(shù)為工具，直接指向解決問題的過程．案例1中解答1～3給出的只是答案，缺少求解的過程；而解答4～5本質(zhì)上都是用枚舉法求方程的解，且解答5在轉(zhuǎn)化過程中遺漏了“x≠0”的條件．一般地，解一元一次方程是運用等式的基本性質(zhì)，經(jīng)歷去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)系數(shù)化為1等步驟，將一個一元一次方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式．因此，解方程應(yīng)該用演繹法求解，而不是用枚舉法驗證．該方程的正確解法如下：

當(dāng)x= 0時，00= 0無意義；當(dāng)x≠ 0時，方程兩邊同時除以x，得xx÷x=x÷x，化簡得xx-1=1．

①根據(jù)a0= 1(a≠0)，得x-1=0，所以x=1； ②根據(jù)1n= 1(n為整數(shù))，得x= 1；③根據(jù) (-1)2n=1(n為整數(shù))，得x=-1，此時x-1= -2，符合題意．因此，原方程的解是x=1或-1．

基于“精準(zhǔn)”解題導(dǎo)向，目前不少地方的中、高考題大大減少了填空題的數(shù)量，如2019年高考(全國卷)，只留4個填空題；2019年中考試卷填空題數(shù)量，河北卷為3個，成都卷為4個，浙江、天津等大多數(shù)省市試卷都為6個．因此，在平時的課堂上要更多地關(guān)注問題解答的過程，作業(yè)評價時要適當(dāng)減少填空題的數(shù)量，尤其是在考試評價中，盡量不要在解答題中出現(xiàn)“請直接寫出答案”的形式，這不利于全方位考查學(xué)生的思維，甚至違背命題意圖．如2019年江蘇某地中考試卷的壓軸題“若△BCD為銳角三角形，請直接寫出OA的取值范圍．”命題意圖是利用勾股定理，借助數(shù)形結(jié)合，從運動變化的角度得出正確答案，而實際上不少補課機構(gòu)在學(xué)習(xí)“勾股定理”時增加了“銳角三角形和鈍角三角形的判定方法”，若是如此，豈不是造成了新的不公平嗎？

3.2 “精準(zhǔn)”概念教學(xué)——由注重基本解法到強調(diào)概念形成

在實際教學(xué)中，很多的課堂都是“高鐵課堂”：追求速度、遵守預(yù)設(shè)．例如，在蘇科版七年級下第11章“一元一次不等式”的教學(xué)中，許多教師課上更加關(guān)注的是運用不等式的性質(zhì)歸納解一元一次不等式的基本步驟，然后亦步亦趨的運用基本步驟解一元一次不等式．對于“4.2不等式的解集”中基本概念的形成，往往輕描淡寫、一帶而過，并且只重視一元一次不等式的解集，而對于其他形式的不等式不敢越雷池半步.這樣就嚴(yán)重扼殺了用枚舉法尋求不等式解集的價值，學(xué)生在中考中“卡在那里”也就不足為怪了．

案例2的正確解答如下：由①得12a+ 9b≥98，a≥0，b≥0，且a,b都為整數(shù)．通過枚舉法(如下表)，可知a=6,b=3時，w最小．因此，他們至少要支付84萬元．

a9876543210b012356791011w90888684908886929088

心理學(xué)認為，數(shù)學(xué)概念的形成需要不同程度地經(jīng)歷辨別、分化、類化、抽象、檢驗、概括、強化、形式化等步驟．在教學(xué)條件下，概念形成的關(guān)鍵是如下4個步驟：提供一類事物的不同例子，通過辨別分化出各個例子的屬性；概括出各個例子的共同屬性，進而提煉出本質(zhì)屬性；概括形成概念，并用定義表示；把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，本質(zhì)上掌握概念．尤其是最后一步，既是在更大范圍檢驗概念的過程，也是鞏固應(yīng)用的過程，使新概念與原認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起非人為的、實質(zhì)性的聯(lián)系，明確概念的外延．課堂上常常表現(xiàn)為正例、反例的變式練習(xí)，還會與當(dāng)初引進的情境作前后照應(yīng)，啟發(fā)學(xué)生從名稱、定義、屬性、范例四個要素上“精準(zhǔn)”掌握概念．如：學(xué)習(xí)了一元一次不等式的一般解法后，應(yīng)該不忘初心(不等式的解集)，根據(jù)定義用枚舉的方法研究二元一次不等式的整數(shù)解．

3.3 “精準(zhǔn)”素養(yǎng)教學(xué)——由注重知識主線到強調(diào)素養(yǎng)立意

華東師范大學(xué)崔允漷教授認為，教師不只是教學(xué)生學(xué)會讀書(知識)，還要教學(xué)生學(xué)會做事(能力)，更要教學(xué)生學(xué)會做人(素養(yǎng))．從這個角度講，一線教師應(yīng)該結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，探尋指向核心素養(yǎng)的教學(xué)路徑與評價，將核心素養(yǎng)落地的“最后一公里”做細、做實．但是，當(dāng)前很多新授課都是以知識點為課堂教學(xué)的主線，如：“4.2不等式的解集”基本是以不等式的解、不等式的解集、解不等式三個知識點為主線展開教學(xué)，課后留在學(xué)生頭腦中的基本上也就是這三個知識點。

諾貝爾獎獲得者楊振寧先生在《我的生平》中說：我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國學(xué)到了演繹能力，在美國學(xué)到了歸納能力．演繹若是一種知識，歸納便是一種智慧．我們的課堂應(yīng)該“精準(zhǔn)”素養(yǎng)，全面育人！

筆者在2019年鎮(zhèn)江市教師發(fā)展中心組織的“特級教師講師團”系列活動之江南中學(xué)站的活動中，開設(shè)了以“歸納與演繹”為主線的“再探全等三角形”復(fù)習(xí)課，贏得了較好的反響，被鎮(zhèn)江市教師發(fā)展中心徐明主任贊譽為“有見地、有意思、有選擇、有創(chuàng)新”的“精準(zhǔn)”復(fù)習(xí)的典范．借鑒“4．2不等式的解集”一課，也可以圍繞“歸納與演繹”這條主線展開教學(xué)，前兩個知識點以“歸納思想”為統(tǒng)領(lǐng)，第三個知識點以“演繹思想”為統(tǒng)領(lǐng)．這樣，既強調(diào)枚舉法(本節(jié)課重點)，又滲透基本解法(下節(jié)課重點)，學(xué)生的核心素養(yǎng)得到發(fā)展，以后研究一元二次不等式、分式不等式的解集也就有了基本思路．

“精準(zhǔn)”的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)該既有數(shù)學(xué)經(jīng)驗積累(“精準(zhǔn)”解題)和知識系統(tǒng)建構(gòu)(“精準(zhǔn)”概念)的過程，也有數(shù)學(xué)思想方法感悟(“精準(zhǔn)”素養(yǎng))的過程．在教學(xué)中，我們要善于利用學(xué)生解題的錯誤資源反思自身的教學(xué)，找到錯誤的本源，立足學(xué)情，探尋改進教學(xué)的方法．在不斷完善中，讓我們的數(shù)學(xué)課堂更加“精準(zhǔn)”、更有味道、更好育人．