從基本量出發：一線串通高考試題與競賽試題

束文清 徐章韜 (華中師范大學數學與統計學學院 430079)

1 基本量及其作用

基本量就是若干個可以唯一確定一個數學問題的一組量，多一個沒用，少一個不行，其中每一個問題的量稱為該問題的一個基本量[1]．一個數學問題有一個或多個基本量，這些基本量彼此獨立，但通過描述數學規律的方程或定義新的數學量的方程，基本量之間可以互相聯系．

基本量是解決數學問題的出發點．從基本量出發，梳理數學問題中基本量之間的關系，有助于簡化條件與問題之間的關系，使思考活動更具有指向性，為解題帶來便捷性．因此，基本量思想廣泛地滲透于數學解題中．

基本量是解決數學問題的切入點．解題時，基于題目的背景分析，選取合適的基本量，而后，再應用數學定義、定理、公式等對基本量之間的關系進行分析和推導，得到若干個由基本量表示的非基本量(導出量)，將問題轉變為對基本量與非基本量及其相互關系的研究．這是解決數學問題的基本方法．

當選擇不同的基本量作為解題切入點時，解決問題的方法和效果也會有所差別．但是不論采取何種解法，只要在解題中抓住“基本”，即相信在復雜的情境中存在著基本的東西，發現并運用這個基本的東西，問題就會得以解決[2]．

2 從基本量出發，試解高考題與競賽壓軸題

平面幾何的基本量是長度和角度．在解平面幾何題中，常常結合題目背景選用長度或角度作為基本量，應用相關的定義、定理、公式來表示問題中的其他非基本量(導出量)，尋找相互關系，從而實現了平面幾何問題的代數化．

從基本量出發，不僅是高考數學題的基本解題思路，也是解答競賽數學題行之有效的方法．以下，舉2018年全國高考理科數學卷第19題和2018年全國高中數學聯合競賽一試(A卷)壓軸題第11題為例，進行分析探討．

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程．

(2)設O為坐標原點，證明∠OMA=∠OMB．

解(1)由題易知，右焦點F的坐標為(1,0)，故直線l的方程為x=1．

(2)解法1 從基本量“角度”出發

當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°．

當l與x軸垂直時，OM為AB的中垂線，故∠OMA=∠OMB.

故MA,MB的傾斜角互補，∠OMA=∠OMB．

解法2 從基本量“長度”(距離)出發

當l與x軸垂直時，OM為AB的中垂線，故∠OMA=∠OMB.

由直角三角形的全等證明知，△OMA≌△OMB，故∠OMA=∠OMB．

反思本題分為兩個小題．第一小題根據“直線與軸垂直”這一條件，求出點A可能的坐標，進而得到直線方程．第二小題要證∠OMA=∠OMB，從基本量“角度”出發，即證OM為∠AOB的平分線．由于直線OM與x軸重合的特殊性，題中存在直線l與x軸的多種位置情況，需要分類討論．對于一般情況，從角平分線的基本性質出發，不難發現∠AOB的兩條外邊所在的直線傾斜角互補，進而得到斜率和為0的推論，也就找到了幾何問題代數化的橋梁.通過聯立方程，運用韋達定理，驗證了推論．從基本量“長度”(距離)出發，利用點F到直線MA,MB的距離相等，得到△OMA≌△OMB，進而有全等三角形對應角相等．

例2(2018年全國高中數學聯合競賽一試(A卷)壓軸題第11題)在平面直角坐標系xOy中，設AB是拋物線y2=4x的過點F(1,0)的弦，△AOB的外接圓交拋物線于點P(不同于點O,A,B)．若PF平分∠APB，求PF的所有可能值．

解法1 從基本量“角度”出發

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，△AOB的外接圓方程為C1:x2+y2+mx+ny=0．令AB的解析式為x=ky+1，由題意知A，B均在拋物線和圓上，聯立方程得y2-4ky-4=0，(k2+ 1)y2+(2k+mk+n)y+(1+m)=0．

進一步得y4-(16k2+4)y2-16ky=y(y2-4ky-4)(y+4k)=0，從而P(4k2,-4k).

若k=0，則點P與原點重合，PF=1(舍)．

反思解法1從基本量“角度”出發，在無法直接選取具體基本量的情況下，提前構建各幾何要素的關系，由條件“PF平分∠APB”，得到PA，PB，PF與y軸正向夾角α，θ，β的相互關系，列出等式β-θ=θ-α．進而思考，用什么樣的基本量作為表征工具，采取什么方法刻畫α，θ，β？解析幾何中幾何要素及相互關系，往往具有多元的外部表征形式．雖已假設點A，B的坐標，但如果采用兩點式表示AB函數則不夠典型，也無法體現AB過拋物線焦點這一重要特征．于是采用點斜式，設AB的解析式為x=ky+1，通過分析和甄別，確定具體的基本量，即為AB的斜率k,利用題中拋物線，圓與過焦點弦的位置關系，得到用斜率k表示的點P坐標及α，θ，β的正切值,帶入等式求解得出答案．

解法2 從基本量“長度”(距離)出發

圖1

反思解法2從距離出發，利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”構建等式，易知點F到PA，PB的距離相等．若采用點斜式設出直線PA，PB的表達式，四個未知數會導致聯合直線方程與拋物線及圓的表達式得到的方程組較為復雜．因此，采用參數式的方法設立坐標點A，B，P的坐標，進而求得yAB，yAP，再帶入點到直線的距離公式，問題也就迎刃而解．

解法3 從基本量“長度”(距離)出發

反思解法3與解法2均抓住“長度”(距離)這一基本量，但二者用基本量表示其他幾何要素和實現幾何問題代數化的方式有所差別：前者從角平分線的定義出發，屬于高中數學知識范疇；后者以角平分線的性質定理為切入點，構造了不同的非基本量和關系式，所用知識屬競賽范疇．

3 高中數學教學中，應注重學生基本量思想的培養

從基本出發，是高考數學和競賽數學的命題要求．全國高考題例1與競賽試題例2，命題和解題都緊扣“基本”．兩題考查的內容均是解析幾何背景下的過焦點弦與角平分線，屬于《普通高中數學課程標準(2017年版)》有關平面幾何部分要求掌握的基礎知識，并未超綱．例1與例2的解題思路都以平面幾何的基本量“角度”和“長度”作為切入點，應用角平分線的相關性質及方程根與系數的關系解決問題．

從基本量出發，是從基本出發思考問題的一種體現.本文例1與例2雖然難度有別，但考查學生應用數學基本量解決數學問題卻是一致的．高考試題題例1設兩小問，第一問對第二問給予特殊情況的暗示，且點M位置特殊，減少了推理和運算要求，降低了解題難度．與競賽數學相比，高考數學強調通性通法，應用基本量思想解決高考數學問題是“高考數學通性通法”應有之意．競賽試題例2的條件中各幾何要素關系復雜，比高考題難度大，所考查的基本量思想卻與高中數學課程目標一脈相承，都是“通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識，基本技能，基本思想，基本活動經驗”．

從基本量出發，在高中數學教學活動中不可或缺．無論高考數學還是競賽數學，都要求高中數學教學活動中應該加強學生基本量思想的養成，注重學生應用基本量提高解題技能．為了培養基本量思想，學生應掌握牢固的基礎知識，具有敏銳的基本量意識，提高恰當選取基本量的技巧，具備借助數學語言用基本量推導非基本量的能力．應用基本量提高解題技能，要求學生提高分析數學問題中基本量及其關系的技能，提高選取合適的基本量作為解題切入點的技能，提高通過基本量構建關系式的技能，提高基本應算技能．