一類“食物有限”基于比率的Holling-Tanner離散模型的持久性

吳麗萍

（閩江學院數學系，福建 福州　350108）

一類“食物有限”基于比率的Holling-Tanner離散模型的持久性

吳麗萍

（閩江學院數學系，福建 福州350108）

研究一類“食物有限”基于比率的Holling-Tanner離散捕食者-食餌模型.利用差分方程的不等式理論及振動理論，證明在一定條件下，該系統是持久的.

離散；食物有限；基于比率；Holling-Tanner模型；持久性

1　引言

本文研究如下“食物有限”基于比率的Holling-Tanner離散捕食者-食餌模型：

其中x（n），y（n）分別表示食餌種群和捕食者種群在第n代的種群密度，｛r（n）｝，｛K（n）｝，｛c（n）｝，｛b（n）｝，｛a（n）｝，｛s（n）｝，｛h（n）｝是非負有界序列.

基于生態學意義，本文考慮系統（1）具有正初值x（0）＞0，y（0）＞0的解（x（n），y（n））.易知，系統（1）具有正初值x（0）＞0，y（0）＞0的解是正的.

系統（1）可以看成是與如下連續模型：

對應的離散模型.文獻［1］在｛r（t）｝，｛K（t）｝，｛c（t）｝，｛b（t）｝，｛a（t）｝，｛s（t）｝，｛h（t）｝都是常數的情形下，研究了系統（2）的正平衡點的局部漸近穩定性，以及正平衡點附近Hopf分支的存在性.

然而，對于生命短、世代不重疊的種群，或者是生命長、世代重疊的種群，在其數量比較少時，通常表示為差分方程［2］.近年來，離散生態系統的動力學行為得到廣泛研究［3-10］.目前尚未有文獻對系統（1）進行研究.本文利用差分方程的不等式理論及振動理論，得到保證系統（1）持久的充分性條件.

2　持久性

定義2.1如果存在常數μ和ν（0＜μ＜ν），使得對系統（1）的任一正解（x（n），y（n）），有

則稱系統（1）是持久的.

引理2.1［3］假設｛x（k）｝滿足x（k）＞0且x（k+1）≤x（k）exp{a（k）-b（k）x（k）}，k∈N，其中｛a（k）｝和｛b（k）｝是有正的上界和下界的序列，則

引理 2.2［3］假設｛x（k）｝滿足

引理2.3 設（x（n），y（n））是系統（1）的任一正解，則

情形 2若 ｛x（n）｝關于 K?不振動，則存在正整數 n1，當 n＞n1時，x（n）＜K?（或x（n）＞K?）.

引理2.4 設（x（n），y（n））是系統（1）的任一正解，則

引理2.5假設（H）：r?a?-b?＞0，成立，則對系統（1）的任一正解（x（n），y（n））有

引理2.6 設（x（n），y（n））為系統（1）的任一正解，則

其中

定理2.1設系統（1）滿足條件（H）：r?a?-b?＞0，則系統（1）是持久的.

注 2.1本文研究了一類“食物有限”基于比率的Holling-Tanner離散捕食者-食餌模型在一定條件下是持久的.對于該系統全局吸引性的研究比較復雜，將在后續的文章中進行研究.

［1］Yang Bo.Pattern formation in a diffusive ratio-dependent Holling-Tanner predator-prey model with Smith Growth［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2013，DOI：org/10.1155/2013/454209.

［2］陳蘭蓀，宋新宇，陸征一.數學生態學模型與研究方法［M］.四川：四川科學技術出版社，2003.

［3］Chen F D.Permanence for the discrete mutualism model with time delays［J］.Math.Comput.Model.，2008，47（3/4）：431-435.

［4］Fan M，Wang K.Periodic solutions of a discrete time nonautonomous ratio-dependent predator-prey system［J］.Math.Comput.Modelling，2002，35（9/10）：951-961.

［5］Huo H F，Li W T.Stable periodic solution of the discrete periodic Leslie-Grower predator-prey model［J］.Math.Comput.Model.，2004，40（3/4）：261-269.

［6］Yang X T，Liu Y Q，Chen J.Uniform persistence for a discrete predator-prey system with delays［J］.Appl.Math.Comput.，2011，218（4）：1174-1179.

［7］梁志清.一類基于比例確定的離散系統正周期解的存在性［J］.生物數學學報，2004，19（4）：421-427.

［8］Teng Z D，Zhang Y，Gao S J.Permanence criteria for general delayed discrete nonautonomous n-species Kolmogorov systems and its applications［J］.Comput.Math.Appl.，2010，59（2）：812-828.

［9］Li Y K，Zhang T W.Permanence and almost periodic sequence solution for a discrete delay logistic equation with feedback control［J］.Nonlinear Anal.RWA.，2011，12（3）：1850-1864.

［10］卞繼承，范志強，徐加波，等.帶無窮時滯兩種群Lotka-Volterra離散模型的持久性［J］.純粹數學與應用數學，2014，30（2）：166-172.

Permanence for a“food-limited”ratio-dependent Holling-Tanner discrete model

Wu Liping

（Department of Mathematics，Minjiang University，Fu′zhou350108，China）

In this paper，a“food-limited”discrete ratio-dependent Holling-Tanner predator-prey model is studied.By using the theory of difference inequality and the oscillation theory of difference equation，it is showed that the system is permanence under some conditions.

discrete，food-limited，ratio-dependent response，Holling-Tanner model，permanence

O175.12

A

1008-5513（2015）03-0245-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.004

2014-11-02.

吳麗萍（1972-），碩士，副教授，研究方向：生物數學.

2010 MSC：39A05，39A21，92D25