四維Filiform李超代數的譜序列及上同調

馬穎超，劉文德

（哈爾濱師范大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱　150025）

四維Filiform李超代數的譜序列及上同調

馬穎超，劉文德

（哈爾濱師范大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱150025）

利用復數域上四維 Filiform李超代數的分類，通過計算，刻畫了所有四維Filiform李超代數的譜序列，進而得到所有四維Filiform李超代數的上同調.

Filiform李超代數；譜序列；上同調

1　引言

在同調代數中，譜序列是一個非常重要的概念，它既是一種理論，也是研究同調模的有效方法.二戰期間，J.Leray在研究代數拓撲學時，引入了層的概念，從而面臨著計算層上同調的問題，為此，他提出了一種計算方法稱為Leray譜序列［1］.不久，很多數學家發現，Leray譜序列只是一個特例，譜序列還應用于解決纖維化等幾何問題.抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，這樣的譜序列稱為Grothendieck譜序列［2］.1947年，J.L.Koszul將譜序列與代數理論有機的結合起來［3］.隨著研究范圍的擴大，譜序列成為計算同調的重要方法，備受國內外學者關注，現已成為同調代數、代數拓撲、代數幾何、環論及群論等學科的一種有力的工具.1991年，J.A.Dixon利用譜序列計算了BRS的上同調［4］.2001年，D.W.Barnes證明了李代數的擴張的譜序列的長度最多是其商代數的維數加一，當代數是冪零的且擴張是可裂的時，譜序列的有界性能夠得到一個任意大的商代數［5］.2004年，K.Kuribayashi利用Eilenberg-Moore譜序列計算了函數空間的上同調［6］.2006年，A.Romero、J.Rubio和F.Sergeraert優化了J.L.Koszul給出的計算譜序列的程序，這些程序能夠計算Serre譜序列，Eilenberg-Moore譜序列等［7］.2012年，B.Edalazadeh計算了李代數的Hochschild-Serre譜序列，進而得到其上同調并給出了簡化計算譜序列的方法［8］.2013年，V.J.Barco闡述了簡化計算李代數譜序列的一些性質并計算了低維冪零李代數的譜序列［9］.

1970年，M.Vergne在計算冪零李代數的上同調時，提出了Filiform李代數的概念［10］.2001年，M.Gilg對復數域上維數小于等于8的Filiform李超代數進行了分類并給出了Filiform李超代數Ln，m的形變［11-12］.2006年，A.Fialowski和D.Millionschikov計算了H?（m0）和H?（m1）的上同調并討論了與表示論的關系［13］.

事實上，大多數代數方面的譜序列是與濾過復形相關的.本文利用這種方法并受文獻［9］的啟發，計算了四維Filiform李超代數的譜序列，進而得到其上同調.

2　基本概念

設V，W 為超空間，σ：V→W 是一個線性映射.σ稱為偶的，如果σ（Vα）?Wα；σ稱為奇的，如果

Z2-分次向量空間具有雙線性乘法［，］：g×g→g，稱g是李超代數，如果滿足以下三條：

定義 2.1［11］設是冪零李超代數，稱g的超冪零指數為（p，q），如果但但其中設且稱g是Filiform李超代數，如果它的超冪零指數是（n，m），記為F（n，m）.

引理 2.1［11］四維Filiform李超代數在同構意義下分為如下三類（用｛X0，X1|Y1，Y2｝表示它的一個齊次基）：

定義 2.2［14］譜序列是一個雙分次Abel群族連同微分算子滿足其中r∈N，p，q∈Z.

3　四維 Filiform李超代數的譜序列及上同調

利用文獻［9］中的思想，即由F1，2降中心列的零化子空間構造F1，2如下濾過，令

進而有表1，表2成立.

表1　V（n，1）的基及其維數

表2　V（n，2）的基及其維數

其中j≥0，u=0，1.下文不加注釋的用V（n，v）表示ΛnV（1，v），v=1，2，簡記F1，2=g.

表3　E0的基及其維數

其中j≥0，u=0，1，v=1，2.

證明由（6）式知，表6，表7成立.

表6　的基及其維數

表6　的基及其維數

n E0，n0的基　dimE0，n00??0 1 ?Y?2 1 2 X?0∧Y?2，X?1∧Y?2 Y?1 ∧Y?2，Y?2∧Y?2 4 ≥3　X?u∧j1Y?1∧n-j1-1Y?2 X?0∧X?1∧j2Y?1∧n-j2-2Y?2 4n-4 ∧j3Y?1 ∧n-j3Y?2

表7　的基及其維數

表7　的基及其維數

n E1，n-10　　的基　dimE1，n-100 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?u∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?1，∧nY?1 4

其中0≤j1≤n-2，0≤j2≤n-3，0≤j3≤n-1，u=0，1.

由（7）式知，表8，表9成立.

表8　的基及其維數

表8　的基及其維數

n E0，n1　　的基dimE0，n10??0 1 ?Y?2 1 2 X?0∧Y?2，X?1∧Y?2 Y?1 ∧Y?2 3 ≥3　X?0∧n-1Y?2，X?1∧n-2Y?1∧Y?2　∧n-1Y?1∧Y?2，X?0∧X?1∧n-3Y?1∧Y?2 4

表9　的基及其維數

表9　的基及其維數

n E1，n-11　　的基　dimE1，n-110 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?u∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?1，∧nY?1 4

由（8）式知，表10，表11成立.

表10　=的基及其維數

表10　=的基及其維數

n E0，n2　=E0，n∞　的基　dimE0，n2　=E0，n∞0，1　?　?　0 2 X?0∧Y?2 ?1 ≥3　X?0∧n-1Y?2 X?0∧X?1∧n-2Y?2 2

表11　=的基及其維數

表11　=的基及其維數

n E1，n-1 2　=E1，n-1∞　的基　dimE1，n-1 2　=E1，n-1∞0 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 2 X?1∧Y?1 X?0∧X?1，Y?1∧Y?1 3 ≥3　X?1∧n-1Y?1 ∧nY?1 2

表12　E0的基及其維數

表13　E1的基及其維數

表14　E2=E∞的基及其維數

其中j≥0，u=0，1，v=1，2.

證明類似定理3.1的證明可得表12，表13，表14.

表15　E0的基及其維數

表16　E1的基及其維數

表17　E2=E∞的基及其維數

證明類似定理3.1的證明可得表15，表16，表17.

注3.1當n為奇（偶）數時，文中所有的表格的第2列為偶（奇）元素，第三列為奇（偶）元素.

由（9）式，可得到四維Filiform李超代數的任意階同調群，于是有如下推論.

表18　的基及其維數

表18　的基及其維數

n Hn（F（1）1，2）的基　dimHn（F（1）1，2）0 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?0∧n-1Y?2，X?1∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?2，∧nY?1 4

表19　的基及其維數

表19　的基及其維數

n Hn（F（2）1，2）的基　dimHn（F（2）1，2）0 i ?1 1 X?0，X?1 Y?1 3 ≥2　X?0∧n-1Y?1，X?0∧n-1Y?2-X?1∧n-1Y?2　X?0∧X?1∧n-2Y?2，∧nY?1 4

表20　的基及其維數

表20　的基及其維數

n Hn（F（3）1，2）的基dimHn（F（3）1，2）0 i ?1 ≥1　X?0∧n-1Y?2 （n-1）X?0∧X?1∧n-2Y?2+Y?1∧n-1Y?2 2

［1］Leray J.L′anneau d′homologie d′une représentation［J］.C.R.Acad.Sci.，1946，222：1366-1368.

［2］Weibel C A.An Introduction to Homological Algebra［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1994.

［3］Koszul J L.Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau［J］.C.R.Acad.Sci.Paris.，1947，225：217-219.

［4］Dixon J A.Calculation of BRS cohomology with spectral sequences［J］.Commun.Math.Phys.，1991，139：495-526.

［5］Barnes D W.On the length of the spectral sequence of a Lie algebra extension［J］.Proc.Amer.Math.Soc.，2001，129：347-350.

［6］Kuribayashi K.Eilenberg-Moore spectral sequence calculation of function space cohomology［J］.Manu.Math.，2004，114：305-325.

［7］Romero A，Rubio J，Sergeraert F.Computing spectral sequence［J］.J.Sym.Compu.，2006，41：1059-1079.

［8］Edalatzadeh B.On Hochschild-Serre spectral sequence of Lie algebras［J］.J.Math.，2012，355：61-66.

［9］Viviana J B.On a spectral sequence for the cohomology of a nilpotent Lie algebra［J］.J.Alg.App.，2015，14，ID：145007817；arXiv：1204.4123v3.

［10］Vergne M.Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes.Applicationà l′étude de la varièté des algèbres de Lie nilpotentes［J］.Bull.Soc.Math.France，1970，178：81-116.

［11］Gilg M.Low-dimensional Filiform Lie superalgebras［J］.Rev.Math.Compu.，2001，14：463-478.

［12］Gilg M.On deformation of Filiform Lie superalgebra Ln，m［J］.Commun.Alg.，2004，32：2099-2115.

［13］Fialowski A，Millionschikov D.Cohomology of graded Lie algebra of maximal class［J］.J.Alg.，2006，269：157-176.

［14］Musson I.Lie Superalgebras and Enveloping Algebras［M］.Rhode Island：Amer.Math.Soc.，2012，355-361.

Spectral sequences and cohomology of four-dimensional Filiform Lie superalgebras

Ma Yingchao，Liu Wende

（Department of Mathematics，Harbin Normal University，Heilongjiang150025，China）

In this paper，employing the classification of Filiform Lie superalgebras of dimension 4 over the complex field，we determine all spectral sequences of four-dimensional Filiform Lie superalgebras by means of computation.As a result，we obtain all cohomology of four-dimensional Filiform Lie superalgebras.

Filiform Lie superalgebras，spectral sequences，cohomology

O154.2

A

1008-5513（2015）03-0282-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.009

2015-01-01.

國家自然科學基金（11171055，11471090）；黑龍江省杰出青年基金（JC201004）.

馬穎超（1990-），碩士生，研究方向：李代數與李超代數.

劉文德（1965-），博士，教授，研究方向：李代數與李超代數.

2010 MSC：17B30，16E40，55T99