π-模余代數與π-模余理想

衡美芹

（宿遷學院教師教育系，江蘇 宿遷　223800）

π-模余代數與π-模余理想

衡美芹

（宿遷學院教師教育系，江蘇 宿遷223800）

主要討論局部有限維的Hopf π-代數H上π-模余代數與π-模余理想.給出了π-H-模余代數與π-H?-余模代數之間的對偶關系，得到了π-H-模余理想的一個充分必要條件.

Hopf π-代數；π-模余代數；π-模余理想

1　引言及預備知識

文獻 ［1］研究了 Hopf π-余代數的一些重要性質.文獻 ［2-4］研究了 Hopf π-余代數的Morita Contexts和π-Galois擴張，與Hopf π-代數有聯系的Drinfeld co-double等也有充分的討論，并給出了一些重要結論.本文研究Hopf π-代數上的局部有限維的π-模余代數與π-余模代數的對偶關系，討論π-模余代數上的π-模余理想與對偶的π-余模代數上的π-余模子代數之間的關系，得到π-H-模余理想的一個等價條件.

設k為任意域，本文中的向量空間和（余）代數都是指k上的向量空間和（余）代數，π為任意乘法群，其單位元記為1.域k上向量空間的張量積A?kB簡寫成A?B，換位映射記為σu，v：U?V→V?U，即對任意的u∈U，v∈V，σU，V（u?v）=v?u.

首先給出π-代數及Hopf π-代數的定義，可參考文獻［1］.

定義 1.1設｛Hα｝α∈π為一簇k-向量空間，若存在一簇k-線性映射

及k-線性映射u：k→H1，使得對于任意的α，β，γ∈π，a∈Hα，滿足

則稱H=（｛Hα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u）為π-代數.

注1.1當π=｛1｝時，（H1，m1，1，u）代數可以看作通常意義下的代數［1］.

定義 1.2設H=（｛Hα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u）為π-代數.給定一簇k-線性映射

滿足以下條件：

注 1.2當π=｛1｝時，Hopf π-代數可以看著通常意義下的Hopf代數［1］.對偶地，還可以給出π-余代數及Hopf π-余代數的定義.

滿足以下條件：

下面再給出π-代數H上的π-模、π-H-模同態以及π-余代數 ˉH上的π-余模、π-H-余模同態的定義，可參考文獻［3］.除特殊說明外，在本文中涉及到的π-（余）模均指右π-（余）模.

定義 1.5設H是一個π-代數，若存在一簇向量空間M=｛Mα｝α∈π，以及一簇k-線性映射：

使得對任意的α，β，γ∈π，有

則稱（M，ρ）為H上π-模，記作π-H-模M.

定義 1.6設 （M，ρ）和 （M′，ρ′）是 π-代數 H上兩個 π-模，若有一簇 k-線性映射且對任意的則稱f是π-H-模同態.

滿足對于任意的α，β∈π，有

則稱f是π-ˉH-余模同態.

2　π-模余代數

在這一節中首先給出Hopf π-代數H上的π-模余代數的概念，然后討論其對偶空間，證明了局部有限維的π-H-模余代數C的對偶空間C?是一個π-H?-余模代數.

定義 2.1設H=（｛Hα，Δα，εα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u，｛Sα｝α∈π）是一個Hopf π-代數，

是一簇余代數，對任意的α，β∈π，a∈Cα，h∈Hβ，滿足：

其中Δ′α（a）=∑a1?a2，Δβ（h）=∑h（1，β）?h（2，β），則稱（C，ρ）為H上的一個π-模余代數.記作π-H-模余代數C.由此定義可得如下結論.

以下總設Hopf π-代數H以及H上的模都是局部有限維的.Hopf π-代數H稱為局部有限的，若每一個k-向量空間Hα（?α∈π）都是有限維的.類似地有局部有限π-模的概念.

和單位映射u：K→H1可以導出k-線性映射

3　π-模余理想

本節討論Hopf π-代數H上的π-模余代數的π-模余理想的一些性質，得到了π-模余理想的一個充分必要關系.

定義3.1設（M，ρ）是π-代數H上的一個π-模，M′=｛M′α｝α∈π是一簇向量空間，且對于任意的α∈π，M′α是Mα的子空間，并且滿足對于任意的則稱M′是M的一個π-H-子模.

定義3.2設H為Hopf π-代數，C為π-H-模余代數.若D=｛Dα：Dα?Cα｝是C的一簇余理想，且D是C的一個π-H-子模，則稱D是C的一個π-H-模余理想.

引理3.1設H為Hopf π-代數，（M，ρ）為π-H-模，M′是M的的π-H-子模，則M′⊥是的一個π-H?-子余模.

引理 3.2設 C=｛Cα｝α∈π是一簇余代數，且 Cα都是有限維的.那么一簇子空間D=｛Dα?Cα｝α∈π是C的一簇余理想的充要條件為D⊥是C?=｛C?α｝α∈π的一簇子代數.

證明參見文獻［7］.

定理3.1設H為Hopf π-代數，（C，ρ）為π-H-模余代數.若D是C的π-H-模余理想，則的π-H?-余模子代數.

證明由引理3.1，引理3.2可得.

引理3.3設H為Hopf π-代數，（M，ρ）為π-H-模，若N是（M?，ˉη）的一個π-H?-子余模，則N⊥是M的π-H-子模.

定理3.2設H為Hopf π-代數，（C，ρ）為π-H-模余代數，若D是的π-H?-余模子代數，則D⊥是（C，ρ）的π-H-模余理想.

證明由引理3.2，引理3.3可得.

定理3.3設H為Hopf π-代數，（C，ρ）為π-H-模余代數，D=｛Dα?Cα｝是C的一簇子空間.則D是C的π-H-模余理想當且僅當D⊥是（C?，ˉη）的π-H?-余模子代數.

證明由定理3.1，定理3.2可得.

［1］Virelizer A.Hopf group-coalgebras［J］.J.Pure Algebra，2002，171：75-122.

［2］Wang Shuanhong.Coquasitriangular Hopf group algebras and Drinfelid co-doubles［J］.Communications in Algebra，2007，35：1-25.

［3］Wang Shuanhong.Morita contexts，galois extension for Hopf coalgebras［J］.Communications in Algebra，2006，34：521-546.

［4］Wang Shuanhong.A Maschke-type theorem for Hopf group comodules［J］.Tsukuba J.Math.，2004，28（2）：377-388.

［5］衡美芹，孫建華.Hopf π-余代數與π-子余代數［J］.純粹與應用數學，2009，25（4）：706-710.

［6］Sweedler M E.Hopf Algebra［M］.New York：Benjamin，1969.

［7］Abe E.Hopf Algebra［M］.New York：Combridge University Press，1980.

π-module coalgebras and π-module coideals

Heng Meiqin

（Department of Teachers and Education，Suqian College，Suqian223800，China）

In this paper，let π be a group and H a Hopf π-algebra.The π-H-module coalgebras and π-H-module coideal are discussed，and the deal relation between a π-H-module coalgebra and a π-H?-comodule algebra is given.Also，the necessary and sufficient condition for a π-H-module coideal is obtained.

Hopf π-algebra，π-module coalgebra，π-module coideal

O153.3

A

1008-5513（2015）03-0273-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.008

2014-07-11.

國家自然科學基金（11171291）

衡美芹（1978-），碩士，講師，研究方向：代數學.

2010 MSC：20M18