雷達偵察截獲效能評估的馬爾科夫動態修正方法

雷震爍，劉松濤，溫鎮銘，葛 楊

(海軍大連艦艇學院信息系統系，遼寧 大連 116018)

0 引言

面對現代戰場電磁環境日益復雜的嚴峻形勢，雷達對抗效能評估技術越來越受到重視，其中雷達偵察截獲效能評估是衡量系統偵察能力的重要指標。偵察截獲效能評估即在對抗發生前定量估算偵察系統對雷達信號獲取能力的過程[1]。傳統評估一般采用建立靜態模型的方式，即模型建立完成后僅通過輸入參數的變化影響評估的結果，模型本身不再進行修正。

目前對于靜態評估模型的研究已取得了一定進展。文獻[2]通過窗口函數結合概率論分析了系統前端截獲概率，得出捷變頻雷達前端截獲概率公式。文獻[3]通過構建評估指標數學模型并分析雷達偵察性能，形成了作戰效能評估理論框架。文獻[4]針對導引頭雷達捷變頻信號窄帶搜索問題，提出均勻分布與高斯分布兩種偵察方式模型并進行效能評估。文獻[5]對相控陣雷達波束及掃描特征分析，建立了相控陣偵察截獲概率模型。文獻[6]建立了自適應對抗模型結合機器學習算法實現雷達效能評估。文獻[7]以雷達系統自身的數據及戰時環境作為評估參數，得出偵察截獲效能預期評估方法。然而，考慮到戰場數據反饋速度的不斷提高和復盤技術的持續優化，在對抗中會實時產生許多有價值的數據，這些實時數據在傳統雷達偵察截獲效能評估時并沒有得到有效利用。本文針對此問題，提出了雷達偵察截獲效能評估的馬爾科夫動態修正方法。

1 傳統雷達偵察截獲效能評估

對雷達信號的偵察主要分為發現和識別兩個方面，前者包括信號的搜索與檢測，后者包括信號的分析和辨識[8]。傳統雷達偵察截獲效能評估主要針對發現雷達信號的過程，選擇前端截獲概率作為評估指標，此處偵察系統選擇定向天線。

在偵察系統與被偵察雷達(下文簡稱雷達)空域頻域對準的情況下，設偵察系統在雷達所在空域頻域駐留時長為t，偵察系統回訪時間間隔為T，雷達主瓣及其有效旁瓣在偵察系統方向上的單次照射時長為τ，雷達照射時間間隔為S。對于固定周期掃描雷達，τ和S為固定值，對于隨機掃描雷達，τ和S為隨機值。將偵察系統駐留時長t與雷達單次照射時長τ的重疊時間作為偵察系統有效偵收時長，如圖1所示。當有效偵收時長大于最短截獲時長λ時，視為偵察系統成功截獲雷達信號。

傳統評估模型選取t，T，λ，τ作為評估參數，以截獲概率作為指標進行雷達偵察截獲效能er評估，表示為[7]：

(1)

式(1)中，P為偵察系統截獲固定周期掃描雷達概率，當τ>T+2λ時，雷達單次照射時長覆蓋偵察系統搜索周期，偵察系統一定可以截獲雷達信號，即P=1。當τ≤T+2λ時需要根據偵察系統截獲信號條件計算，表示為：

(2)

E(P)為偵察系統截獲隨機掃描雷達概率的數學期望，表示為：

(3)

式(3)中，a，b，c為Weibull分布參數，通過Weibull分布函數對隨機值τ進行擬合。

評估過程中t，T，λ可由偵察系統直接獲得，τ可由偵察系統積累歷史數據通過數學擬合的方法推算得出，因此參數都由偵察方獲得，可在對抗發生前進行效能預期評估。

2 馬爾科夫動態修正方法

對雷達偵察截獲效能評估的馬爾科夫動態修正方法包括四個步驟：數據預處理、相關性分析、模型建立和誤差分析，流程如圖2所示。

圖2 馬爾科夫動態修正方法Fig.2 Markov dynamic correction method

1) 數據預處理。為利用歷史統計值對評估值進行修正，需要將數據維度統一，同時補全空缺數據。當空缺數據前后三個時刻都為已知數據時，用非鄰均值代替空缺數據，表示為：

(4)

否則用趨勢比例值代替空缺數據，表示為:

(5)

式(5)中，al，bl為擬合參數，n為時刻數，一般取3即可。

2) 相關性分析。計算評估值和歷史統計值的凝聚譜值，若凝聚譜值較大，說明相關水平較高，利用歷史統計值修正評估值可以提高評估準確度，詳見第2.1節。

3) 模型建立。根據相關性分析結果，建立雷達偵察截獲效能評估的馬爾科夫修正模型，包括參數預處理、模型構造與應用和誤差預測與消除，詳見第2.2節。

4) 誤差分析。為直觀表示各評估方法的優劣，采用百分比誤差eAPE、平均百分比誤差eMAPE和均方差eMSE進行誤差分析，誤差數值越小說明評估方法越準確，表示為：

(6)

(7)

(8)

式(6)—式(8)中，pr為截獲效能統計值，er為該方法截獲效能評估值，g為樣本點數。

2.1 評估值和歷史統計值的相關性分析

凝聚譜值能描述兩個數據序列的相互關系即相關性。在應用時，往往先將兩個數據序列在頻域上進行預處理，按不同的時間尺度選取兩個數據序列中的部分數據構成兩個新序列，對這兩個新序列進行相關性分析計算。凝聚譜以兩個數據序列X=x1，x2，…，xn，Y=y1，y2，…，yn為輸入；X，Y的自相關系數Rxx，Ryy，落后相關系數Rxy，Ryx[9]分別表示為：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，k為落后階數，k=0，1，…，n為數據序列的長度。

兩個數據序列時間譜ch(f)，qh(f)表示為：

(13)

(14)

式中，f為譜頻率，M=n/3為截斷點數量，w(k)為權系數，表示為：

(15)

則X，Y的單譜、交叉譜表示為：

(16)

(17)

Sxy(f)=ch(f)+iqh(f)

(18)

二者凝聚譜Nxy(f)[10]表示為：

(19)

凝聚譜值越大，表明兩個原數據序列的相關性越強。將其歸一化后，相關性水平與凝聚譜值的對應關系如表1所示。基于此認為凝聚譜值高于0.5，即二者至少處于顯著相關的程度時，適宜采用馬爾科夫鏈動態修正方法。由于戰場態勢的差異，不同對抗過程中評估值與歷史統計值相關性差異較大，建立模型前應進行交叉譜分析。

表1 相關性水平與凝聚譜值對應關系

2.2 馬爾科夫動態修正模型

馬爾科夫過程即序列在T時刻的狀態由且僅由T-1時刻的狀態決定，表示為：

Pr{XT+1=iT+1|X1=i1,X2=i2,…,XT=iT}=
Pr{XT+1=iT+1|XT=iT}

(20)

式(20)中，Pr為狀態轉移概率，XT為T時刻狀態變量，iT為XT具體狀態，XT+1為T+1時刻狀態變量，iT+1為XT+1具體狀態。

雷達偵察截獲效能具有縱向相似性，即t時刻偵察截獲效能與t-1時刻偵察截獲效能關聯度較高，因此歷史統計值序列、評估值序列都可以視為馬爾科夫狀態鏈。為了在評估時將歷史統計值因素考慮在內，構造以評估值作為主狀態鏈、歷史統計值作為輔狀態鏈(以下簡稱主鏈和輔鏈)的雙馬爾科夫鏈模型，如圖3所示。圖中X1，X2，…，XT表示主鏈X狀態變量；Y1，Y2，…，YT表示輔鏈Y狀態變量；t時刻的馬爾科夫修正值受傳統偵察截獲效能評估模型和輔鏈t-1時刻狀態變量共同影響。

圖3 雙鏈馬爾科夫過程Fig.3 Double-chainmarkov process

模型具體分解為劃分狀態區間、構造主鏈狀態向量、構造輔鏈狀態向量、構造轉移概率矩陣集合、計算輔鏈預測值、計算主鏈馬爾科夫修正值和誤差預測消除7個步驟。以對t=i時刻偵察截獲效能進行評估為例進行說明。

1) 劃分狀態區間。采取無監督等寬離散化方法[11]將評估值和歷史統計值數值區間劃分為M個子區間，映射為狀態集合S。

2) 構造主鏈狀態向量Xi。依據傳統評估模型計算評估值，得到t=1，2，…，g時刻評估結果并將其離散化。Xi表示t=i時刻評估值狀態，評估值所在列元素為1，其余為0。

3) 構造輔鏈狀態向量Yi-1。依據外部系統獲取歷史統計值，得到t=0，1，2，…，g時刻統計值并離散化，設鏈頭t=0時刻(即評估開始的前一時刻)歷史統計值為0。本文假設t時刻外部系統可以完成對t-1時刻雷達偵察截獲效能歷史統計值的采集，實際中若部分時刻無法完成統計值采集，則利用前文提到的數據預處理方法進行補全空缺數據。Yi-1表示t=i-1時刻歷史統計值狀態，歷史統計值所在列元素為1，其余為0。

4) 構造轉移概率矩陣集合A。A包含A1，A2，…，AM等M個狀態轉移概率矩陣，其中Am表示輔鏈t-1時刻狀態為m時，t時刻M個狀態的轉移概率。對輔鏈前一時刻處于狀態m時，當前時刻狀態進行數學統計，以頻率表示各狀態轉移概率p，轉移概率矩陣集合Am表示為：

(21)

5) 計算輔鏈預測值hi。取各狀態區間上下限平均值構建數值列向量V=[v1,v2,…,vm]進行離散還原，vj即第j個元素，表示為：

(22)

式(22)中，vmaxj為第j個區間上限，vminj為第j個區間下限。

輔鏈預測值hi表示為：

hi=Yi-1×AYi-1×V(i=1,2,…,g)

(23)

式(23)中，AYi-1為輔鏈狀態為Yi-1時的狀態轉移概率矩陣。

6) 計算馬爾科夫修正值Zi，表示為：

Zi=(1-σ)Xi+σhi

(24)

式(24)中，Xi為t=i時的評估值，σ為輔鏈權重參數，一般取0.5為宜。

7) 為減小模型誤差，對模型進行誤差預測和消除。首先進行數據回測，將t-1時刻馬爾科夫修正值與t-1時刻歷史統計值比較計算百分比誤差eAPE；而后，劃分誤差狀態區間并建立誤差狀態轉移矩陣，當誤差小于或等于2%時認為產生了正常誤差，高于2%時認為產生嚴重誤差，得到誤差狀態序列；最后，以單鏈馬爾科夫模型預測t時刻修正值誤差狀態。由于雷達偵察截獲效能本身的波動性較大，所以當已經連續出現兩次嚴重誤差，且對下一時刻誤差預測依舊為嚴重時，才認為模型產生較大誤差并進行消除，經誤差消除后的修正值ZiN表示為：

(25)

式(25)中，eAPEN為預測百分比誤差。

綜上，馬爾科夫動態修正模型流程如圖4所示。

圖4 馬爾科夫動態修正模型Fig.4 Model of markov dynamic correction

3 仿真實驗

通過仿真實驗，模擬偵察系統截獲雷達信號的過程。過程中利用外部系統獲得截獲概率歷史統計值并作為實際偵察截獲效能，利用傳統偵察截獲效能評估方法得到評估值[7]，利用本文方法得到馬爾科夫修正值，對三者進行比較分析，驗證本文方法準確性。共設計兩個實驗場景：場景一為偵察系統偵察1部雷達信號，驗證單雷達情況下評估參數規律變化時，馬爾科夫修正方法效能評估的準確性；場景二為偵察系統偵察16部雷達信號，驗證多雷達情況下，馬爾科夫修正方法綜合效能評估的準確性。

3.1 單雷達偵察截獲效能評估

本場景設計為偵察系統偵察1部雷達信號，當評估參數變化時，驗證馬爾科夫修正方法效能評估的準確性。此處變化的評估參數可選擇偵察系統駐留時長t、偵察系統回訪時間間隔T、雷達單次照射時長τ和最短截獲時長λ中的任意一項。由于選擇最短截獲時長λ時，傳統評估值準確性較差，可更好地體現本文方法的改進效果，故選擇最短截獲時長λ作為變化的評估參數，雷達選擇隨機掃描雷達。

仿真過程中每次實驗的時間長度設定為2 000 s，偵察系統駐留時長t=97 ms，偵察系統回訪時間間隔T=501 ms，雷達單次照射時長τ為隨機產生的數據，通過Weibull分布進行擬合，如圖5所示，雷達照射時間間隔設為指數分布，分布均值為1 020 ms。最短截獲時長λ以1 ms為步長在區間[5,50] ms內遞增變化。以30個樣本點為周期計算偵察截獲效能的統計值與傳統評估方法評估值凝聚譜Nxy=0.845，屬于高度相關，可以使用本文方法。

圖5 原始數據概率分布與Weibull分布擬合Fig.5 Fitting of original data probability distribution and Weibull distributionn

將偵察截獲效能的歷史統計值、傳統模型評估值和本文方法得到的馬爾科夫修正值進行比較。同時引入支持向量機(SVM)評估值和神經網絡評估值作為參考，訓練集選取樣本數的70%，SVM選取BRF徑向基核函數，懲罰系數c和核函數參數g由粒子群算法優化得到，神經網絡選擇BP神經網絡，傳遞函數選擇tansig，中間層神經元個數設為13。所得結果以及絕對百分比誤差，如圖6所示。

圖6 單雷達偵察截獲效能評估結果Fig.6 Results of interception effectiveness evaluation of single radar reconnaissance

為去除奇異值影響，計算最小百分比誤差時選取樣本中誤差最小的90%，計算平均百分比誤差和均方誤差時選取全體樣本。由仿真結果可知，傳統模型評估值90%以上與統計值百分比誤差在11.2%以內，平均百分比誤差為4.0%，均方誤差為1.896×10-3。SVM評估值90%以上與統計值百分比誤差在12.4%以內，平均百分比誤差為5.9%，均方誤差為3.183×10-3。BP神經網絡評估值90%以上與統計值百分比誤差在19.1%以內，平均百分比誤差為9.9%，均方誤差為4.634×10-3。馬爾科夫修正值90%以上與統計值百分比誤差在7.1%以內，平均百分比誤差為3.5%，均方誤差為1.198×10-3。本文方法誤差較小，評估效果更精確。

3.2 多雷達綜合偵察截獲效能評估

本場景設計為偵察系統偵察16部雷達信號時，驗證馬爾科夫修正方法綜合效能評估的準確性。16部雷達中，4部為靜止固定周期掃描雷達，4部為運動固定周期掃描雷達，4部為靜止隨機掃描雷達，4部為運動隨機掃描雷達，如圖7所示。

圖7 多雷達綜合偵察截獲效能評估仿真場景Fig.7 Simulation scene of comprehensive interception effectiveness evaluation of multi-radar reconnaissance

將場景簡化為二維模型，設偵察系統極坐標為(0，0)，雷達極坐標為(ri,θi)，其中ri取值范圍為[150,400] km，θi取值范圍為[0,360]°，運動雷達以250 m/s的速度以偵察系統為圓心順時針或逆時針運動，雷達頻點為S波段(2～4 GHz)內隨機值。偵察系統空域掃描范圍為360°，每個瞬時視場為60°，頻域掃描范圍為S波段，每個瞬時掃描頻段帶寬500 MHz，因此偵察系統共有24個搜索區間，對其依次進行掃描，每個駐留時長掃描其中一個區間。

仿真時間長度設定為5 000 s。偵察系統的偵察策略選擇權重掃描策略，即16部雷達中有8部為一般目標權重為1，另8部為重要目標權重為2。偵察系統最短截獲時長λ=5 ms；各搜索區間駐留時長t=100 ms，搜索區間中每多一個一般目標駐留時長增加100 ms，每多一個重要目標駐留時長增加200 ms；各搜索區間回訪時間間隔T為其余23個區間駐留時長t的總和。固定周期掃描雷達單次照射時長τi取值范圍為[10,100] ms，照射時間間隔Si=10τi；隨機掃描雷達單次照射時長τ為隨機產生的數據，通過Weibull分布進行擬合，照射時間間隔為指數分布，分布均值為500 ms。以30個樣本點為周期計算偵察截獲效能統計值與傳統評估方法評估值凝聚譜Nxy=0.752，屬于顯著相關，可以使用本文方法。

綜合偵察截獲效能的統計值Pall和評估值eall由各雷達偵察截獲效能組合而成，表示為：

(26)

(27)

式(26)、式(27)中，K為總雷達個數，ncap為第i部雷達被截獲次數，Nsend為第i部雷達照射雷達次數，wi為第i部雷達權重系數，W為總權重系數，er為第i部雷達效能評估值。

將雷達綜合偵察截獲效能的歷史統計值、傳統模型評估值和本文方法得到的馬爾科夫修正值進行比較，由于實驗一中SVM，BP神經網絡方法誤差較大，此處不再引入進行對比。所得結果以及絕對百分比誤差，如圖8所示。

圖8 多雷達綜合偵察截獲效能評估結果Fig.8 Results of comprehensive interception effectiveness evaluation of multi-radar reconnaissance

由仿真結果可知，傳統模型評估值90%以上與統計值百分比誤差在14.0%以內，平均百分比誤差為6.7%，均方誤差為0.012 1。馬爾科夫修正值90%以上與統計值百分比誤差在12.0%以內，平均百分比誤差為6.2%，均方誤差為0.009 8。本文方法誤差較小，評估效果更精確。

4 結論

本文提出了雷達偵察截獲效能評估的馬爾科夫動態修正方法。該方法在進行數據相關性分析的基礎上，構造雙鏈馬爾科夫模型將歷史實際評估結果因素加入效能評估模型中，得出馬爾科夫修正值。在仿真實驗中，得到以下結論：1) 仿真場景中，評估值與歷史統計值凝聚譜值分別為0.845和0.752，表明兩種仿真場景下，兩者高度相關和顯著相關，滿足本文方法應用的前提條件。2) 在對單雷達偵察截獲效能、多雷達綜合偵察截獲效能進行評估時，本文方法與傳統評估方法相比精度更高，能較好地評估雷達偵察截獲效能。后續還應對以下問題進行研究：1) 評估值與歷史統計值相關性較低時，如何優化評估方法。2) 對模型進行誤差預測和消除時，如何自動尋優避免引入人為誤差。