證明不等式的基本方法

張莉

【教材分析】

本節內容是選修4-5第二講的內容，是必修中不等式內容的延續。證明不等式的常用方法有比較法、綜合法、分析法等。比較法是證明不等式的最重要方法，是解決不等式證明和解決與不等式有關的數學問題的重要方法之一。本節課以介紹比較法證明不等式為主。

【學習目標】

1.知識與技能：理解和掌握比較法證明不等式的理論依據，能利用比較法證明不等式。

2.過程與方法：通過學習比較法證明不等式，培養對轉化思想的理解和應用。

3.情感、態度與價值觀：通過比較法的學習，體會數學思維的嚴密性。能熟練運用比較法來證明不等式。

【教學重難點】

1.重點：理解和掌握比較法證明不等式的依據。

2.難點：比較法的熟練應用。

【教學方法】

啟發引導式;應用類比的教學法進行比較式教學。

【教學過程】

一、趣味導學

民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值不應小于百分之十，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好，若同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了還是變差了呢？請同學們思考回答。

（設計意圖：通過實際生活中的小問題引入新課，提升學生學習興趣）

二、基礎認知

1.作差比較法

2.作商比較法

如果a、b都是正數，要證a>b，只需證>1;

如果a、b都是負數，要證a>b，只需<1。

比商法要注意使用條件，若>1，不能推出a>b。這里要注意a、b兩數的符號是同正還是同負。

（設計意圖：通過基礎認知，明確作差比較法與作商比較法的理論依據）

三、典例剖析

說明：此題在證明過程中，采用了分組分解因式的方法，將差式變形為多個因式的積，然后由各個因式的正負得出因式乘積的正負，從而判斷差值正負。

小結：作差法步驟：作差—變形—判斷符號—下結論。

（設計意圖：通過例1的學習，掌握作差法的步驟，判斷符號是關鍵。通過適當變形達到目的）

小結：（1）作商法適用于積、商、冪、對數、指數、根式形式的不等式證明。（2）步驟：作商—變形—判斷與比較—下結論。作商變形要將商式化到最簡。當差式或商式中含有字母時，需要對字母的取值進行分類討論。

（設計意圖：通過例2及變式訓練掌握作商法的步驟、適用題型、注意事項。培養學生分類討論的思想）

四、鞏固提升

通過小組合作探究學習，分組展示不同解法。

目標要求：（1）如何做;（2）哪種方法更適合;（3）你有什么收獲。

（設計意圖：通過小組合作、展示、教師點評等，深化學生對比較法的理解，并能靈活應用比較法解決問題）

五、課堂小結

請大家回顧本節課的學習內容，談一下自己的體會。

（設計意圖：通過學生總結、教師歸納，形成完整的知識網絡，達到掌握通法、靈活應用的教學目的）

六、課后作業

1.課本P23習題2.1的1，2，3，4題。

2.思考題：糖水加糖會變甜嗎？說明理由。

3.已知a>b>c，求證：a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2。

（設計意圖：課后作業分為基礎題與思考提升題目，滿足不同層次學生需求，在鞏固本節知識的基礎上提升能力）