對于“利用基本不等式求最值”，學生究竟困惑在哪兒

伏道銀

【摘 要】 在高中，利用基本不等式求最值是重點內容，也是高考重點考查的內容。在講授蘇教版高二必修五第三章“不等式”中的“基本不等式”時，學生普遍感覺接受難度比較大，在獨立解題時利用它求解更是困難重重。在聽了公開課“基本不等式2”，主要探究利用基本不等式求最值后，筆者再次認真思索學生的困惑和學生探究積極性不高的原因。現針對這些疑慮，結合自己的教學體會和學生在處理問題時遇到的困惑，談談對“利用基本不等式求最值”的認識和體會。

【關鍵詞】 基本不等式;最值

公開課“基本不等式2”的內容簡述為：讓學生回顧基本不等式的內容，完成例題，歸納出利用基本不等式求最值的原則為“一正”“二定”“三相等”，然后完成變式訓練，歸納本節課收獲。

整節課下來，知識探究過程顯得生硬，好的學生勉強接受，還有部分學生默然，眼神空洞。在這部分知識的學習過程中，我們也經常出現這些方面的困惑——過渡生硬，學生學習的知識沒有連貫性。

學生可能困惑一：為什么不用高一的函數知識求最值，而用基本不等式求最值呢？

解決策略一：根據學生可能的困惑設置如下例題，回到基本不等式本身，促進對變量個數認知上的突破，再回到基本不等式本身的呈現形式，研究的是兩個變量的不等關系，先避開都是一個變量的問題，突出本節課重點內容。

例1：（1）已知正實數a，b，滿足ab=4，求a+b的最小值。

（2）已知正實數a，b，滿足a+b=1，求ab的最大值。

設計意圖：通過這個問題的設置，讓學生自己體會基本不等式的作用，使學生對用基本不等式求最值變得自然，不僵化，也能使學生更加容易接受，從而得到一般性結論，讓學生感知數學問題常用研究軌跡：特殊到一般再到特殊，即進一步的應用。

變式訓練的設計意圖：三道題分別針對不相等、不正、不定，展開探究，對于（1），如果取不到等號怎么辦？在此基礎上和學生一起歸納基本不等式與特殊函數y=x+（a>0）單調性之間的具體聯系。讓學生明白當等號成立時，有函數單調性，同樣可以得到相同的結論，當等號不能成立時，我們應該退而后思，考慮到用單調性來解決問題，找到二者之間的緊密聯系。感受“退后一步，海闊天空”。通過這個問題可以樹立學生解決問題的大局觀，體會知識點并不是孤立存在的，只有掌握了它們之間的聯系，才能更好地學會數學。對于（2），讓學生明白，當條件不為正時，不是不能用基本不等式求解，而是如何創造條件。對于（3），向學生介紹當沒有定值時簡單構造定值的方法。

教師：他的推導過程成立嗎？

學生：成立，但此題解決的是求最大值，基本不等式兩邊必須有一邊為定值才有最值。

教師應當做個有心人，從小處入手，緊抓教學細節，幫助學生辨識學習內容，及時正確對待學生出現的錯誤，有助于學生突破教學困惑，最終真正掌握基本不等式的精髓。

【參考文獻】

[1]謝欣宇.高中基本不等式教與學的問題與對策[D].哈爾濱師范大學，2019.

[2]段明康.高中數學不等式解題技巧總結[J].亞太教育，2016（33）：71.