“極化恒等式”在向量數量積中的巧用

方愛珍

【摘 要】 隨著時代的發展，數學教學不能再停留在老師教、學生被動接受的狀態。培養學生的數學學科核心素養成為當前高中迫切需要貫徹到平時的教學當中、滲透到生活中的核心任務。數學最核心的素養是邏輯推理能力，面對任何問題，學生都需要從問題中尋找可利用的資源來解決問題。

【關鍵詞】 極化恒等式;邏輯推理

向量在浙江高考試題中經常以壓軸題或次壓軸題的形式出現，在高三復習中，教師應該及時地總結出一些方法小專題，以一題多解或多題一解的方式引導學生跳出題海，站在高點看問題。本文在向量單元復習結束后，以向量的數量積為例，在本校開設公開課，闡述求解多動點數量積的解題策略。

一、引例

（2012年高考浙江卷理科第15題）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則=_。

（設計意圖：考查求向量的數量積方法。常用坐標法和基底法）

學生的抽象思維能力有限，一般教師都會引導：“能建系一定要建系，不能建系也可以強制建系，只不過運算比較復雜。”引入斜三角形，從學生的角度排除建系的可能，轉向基底表示。學生容易得到：=，由AM=3，BC=10，想到兩式平方相減，得到=-16。

二、恒等式的發現

從引例中聯想到學生很容易在平行四邊形中找到：·=。由此得到極化恒等式的平行四邊形模式： （從引例中，容易發現極化恒等式的三角形模式）。

三、小試牛刀，讓學生體驗成功的快樂

例1：〔2014年高考全國新課標II卷文（理）科第4（3）題〕設向量，滿足，，則等于（ ）。

A. 1 ? ? ? ? ?B. 2 ? ? ? ? ? C. 3 ? ? ? ? ? D. 5

例2：如右圖，AB，CD是半徑為1的圓O的兩條直徑，，則=_。

（設計意圖：收獲一個新知，需要通過練習來確認方法的有效性。這兩個小題入口淺，學生根據圖形特點結合極化恒等式快速作答，能夠獲得成功的體驗，也為下一步挑戰更高難度的習題奠定了基礎）

例3：（2016年高考江蘇卷第13題）如下圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD的兩個三等分點，=4，=-1，則=_。

解析：在練習了2個較簡單的小題之后，教師及時點撥學生：“什么條件下容易想到使用極化恒等式？”讓學生收獲：向量共起點，中線對邊有定長。讓學生探討：看似不具備已知邊長的條件，怎樣從=4，=-1中獲得？引導學生觀察所給已知條件不共起點，化成共起點：=4，=-1，又=4，解得=，=，==。

四、求單動點問題的數量積最值

例4：（2017年高考全國II卷理科第12題）如下圖，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面內一點，則的最小值是（ ）。

A. -2 ? ? ? ? B. ? ? ? ?C. ? ? ? ? D. -1

解析：由等邊三角形，學生很容易想到坐標法，那嘗試用新知識能否解決問題？稍作思考，學生就會想到主動尋找BC中點D，問題轉化為求的最值，再使用極化恒等式輕松獲解。

變式1：如右圖，已知正三角形ABC內接于半徑為2的圓O，點P是圓O上的一個動點，則的取值范圍是_。

變式2：已知A、B在橢圓+=1上，且線段AB經過原點，點M為直線3x-4y-15=0上的動點，的最小值為_。

五、求多動點的數量積最值

例5：如右圖，邊長為1的正方形ABCD的頂點A，D分別在x軸，y軸（含原點）滑動，則的最大值為_。

（設計意圖：學生對恒等式從了解到熟悉，掌握了求定值和最值的基本思路后，繼續挑戰兩個動點問題。當學生思維陷入坐標法中無法自拔時，教師引導學生經歷觀察、比較、分析、推理的過程，明確本題中是否具有極化恒等式的條件，培養學生的邏輯思維能力，讓學生經歷“數學化”“再創造”的活動過程，利用極化恒等式把多動點問題轉化為單動點問題，滲透了數學的化歸與轉化思想，提升了學生的數學思維能力）

變式3：如右圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，D是AB的中點，E，F分別是邊BC，AC上的動點，且EF=1，則的最小值為_。

（設計意圖：將例3得到的成功解題經驗繼續遷移到兩個動點不在同一直線上，難度上升一小步，思維跳躍一大步。此時，教師應留出足夠時間讓學生思考，讓學生經歷一場頭腦風暴，真正理解極化恒等式的使用特點，體會到極化恒等式的巧妙之處，更快捷地解決問題）

《普通高中數學課程標準（2017版）》指出：通過高中數學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題;能夠在比較復雜的情境之中把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡;形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神。本文以高三一輪復習課的課案形式，從學生的“最近發展區”獲取新知識，由淺入深，層層深入，讓學生體驗到成功的快樂，增強學生數學學習的自信心，培養了學生的邏輯思維能力。