基于有限Fourier級數的航天器轉移軌跡設計*

吳愛國，董 西

(哈爾濱工業大學(深圳)機電工程與自動化學院· 深圳·518055)

0 引 言

深空探測是指人類對月球、火星及其他天體或空間環境所進行的探測活動，是航天領域重要的發展趨勢之一[1]。深空探測活動不僅可以幫助人類了解宇宙和太陽系的發展和演變，而且在進行空間資源開發和技術創新方面有著重要的科學和經濟價值。深空軌道的設計和優化方法不僅決定著航天器能否成功轉移，也會影響轉移過程中航天器的轉移時間、能量消耗等，是行星探索活動中的一項關鍵技術。

改進的逆五階和六階多項式法[5]改善了逆多項式形狀法無法實現多圈轉移的缺點。文獻[5]在二體模型中將長半軸表示為逆五階或逆六階多項式的形式，通過在初始和末端位置引入一個單調系數，滿足使得軌跡半徑始終增大的要求，以滿足軌跡進行安全轉移，適用于小推力共面軌道的多圈轉移問題。但針對交會時間短的情況而言，可能不存在解。同時，隨著轉移圈數的增多，速度增量也會越來越大，存在不收斂的問題。Petropoulos等人提出的指數正弦形狀法[6]是一種含有4個參數因子的初始設計方法，但是后驗決定的推力并不能由設計任務精確描述。文獻[7]將形狀法應用于速度向量而不是徑向向量上，對速度向量進行有限Fourier分解，然后對速度向量進行積分并得到徑向向量的表達式，再結合遺傳算法搜索到合適的初始猜測值。文獻[8]根據火星探測器的初始與末端的位置、速度矢量和轉移時間，利用基于逆六階多項式的二維形狀法建立了火星探測器的異面轉移軌跡。在小推力交會問題中，也可以將末端速度分量作為優化參數來求解所要求的推力加速度和推力指向角β。文獻[9]對指數正弦形狀法的收斂性和偽二分法的可行性進行了分析，針對小推力重力協助問題，提出了一種新的算法并進行了最優分析。文獻[10]分析了利用指數正弦形狀法求解小推力固定時間軌道轉移情況下的Lambert問題的動力學可行性，證明了推力方向角的正切值在某一范圍內且推力大小無限制的情況下是可行的。

相比形狀法，基于Fourier級數的設計方法可以對大量的自由參數進行求解，通過找到相應的Fourier展開式系數來找到滿足限制條件的解。其缺點是，當沒有解時，有限制條件的Fourier變換問題需要更多的時間來確定沒有解，使得計算時間大大增加。文獻[11]在球坐標系下建立了基于Fourier級數的近似模型進行初始設計，再利用遺傳算法通過種群的迭代來得到轉移軌道的初始猜測值，使得即使在Fourier展開式系數很少的情況下，也可以得到次優的火星轉移的三維初始軌跡，節省了計算時間。高斯偽譜法[12]和各種優化控制方法[13-14]也被應用于求解航天器的轉移軌跡。

本文提出了一種基于有限Fourier級數的形狀法來進行航天器轉移軌跡的初始和優化設計，將轉移軌跡中徑向大小和轉移角之間的關系用有限Fourier級數展開，根據已知的初始和末端參數進行兩點邊值問題的求解。在初始設計中，選擇最小的有限Fourier級數項數求解轉移軌跡的初始猜測值。在優化設計中，將Fourier級數的未知項數、轉移時間、最大推力加速度等作為約束條件，將最小速度增量作為目標函數，利用所得的初始猜測值進行小推力多約束多圈轉移問題的求解。該方法的創新性表現為如下幾個方面：

(1)利用有限Fourier級數求解了航天器小推力多圈轉移軌跡的轉移徑向大小和轉移角之間的關系，有別于將轉移軌跡徑向和轉移時間、轉移角度和轉移時間之間的關系進行分開研究的方法；

(2)提出的基于有限Fourier級數的設計方法比較了在不同參數取值下的所得出的結果，利用數值結果形象直觀地說明了轉移軌道初始設計的好壞對優化設計的影響；

(3)將提出的方法與逆五階多項式形狀法進行了比較，在利用更小的最大推力加速度的條件下，本文所提出的方法可以減少航天器在轉移過程中75%的速度增量。

1 數學模型的建立

航天器在極坐標下的運動模型為

(1)

式中，r為徑向大小，θ為極角，μ為地球引力參數，γ為飛行路徑角，Ta為推力加速度大小，α為推力方向角。徑向r對轉移時間t求一階導數可得

(2)

(3)

將飛行路徑角的正切值tanγ對極角θ進行一階求導和二階求導，分別可得到

(4)

(5)

(6)

由式(1)和式(6)，可得

(7)

將式(7)代入式(1)，可得

(8)

假定推力方向是與速度方向一致的正切推力，即滿足α=γ+nπ，可得角速度滿足式(9)

(9)

(10)

代入航天器的運動模型式(1)，可得正切推力加速度為

(11)

火星探測器到達最終位置所需要的飛行時間tf和速度增量ΔV可以表示為式(12)和式(13)

(12)

(13)

2 設計方法

2.1 轉移軌跡的初始設計

本節采用三階有限Fourier級數來模擬正切小推力作用下所求得的轉移軌跡中航天器的徑向大小和轉移角之間的關系。假設在不存在時間約束的情況下，通過初始和末端的徑向大小、轉移角度、切向角六個參數來設計初始軌跡形狀。由于初始項未知數的存在，三階有限Fourier級數中含有7個未知數，則存在一個不確定的參數取值，本文選擇并比較了四種不同參數進行初始設計時帶來的不同的結果。

三階有限Fourier級數的表示形式如下

(14)

其中，a0,ai,bi,i=1，2，3是需要根據初始和末端條件求得的7個未知數。將初始位置和末端位置的轉移角度的取值θ=θ0(θ0=0)和θ=θf分別代入式(14)及其一階、二階導數后，得到下式

(15)

(16)

由式(3)和式(9)，將徑向大小r對轉移角θ求一階和二階導數后可得

(17)

當θ=0時，即當航天器處于初始位置時，可得

(18)

當θ=θf時，即當航天器處于末端位置時，可得

(19)

為簡化運算的表達式，令

(20)

由式(15)～式(20)整理得到僅含a0,ai,bi,i=1，2，3的六個等式，利用解方程組的方法可以得到

(21)

剩下的3個待求未知數可以表示為

b1+2b2+3b3=C

-b1+2b2-3b3=D

(22)

可以得知，b2有唯一解b2=(C+D)/4。本文所提出的方法(簡寫為FFS-3初始設計)在進行航天器小推力多圈轉移軌跡的設計時，應滿足等式b1+3b3=(C-D)/4。為了計算的簡便，選取了與式(20)相關的4組參數值，在第4節中將利用這4組滿足條件的參數值進行仿真。

2.2 轉移軌跡的優化設計

在航天器小推力多圈轉移過程中，轉移軌跡呈螺旋狀且具有周期性。根據法國數學家Fourier所提出的理論可知，任何周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示。根據初始設計所得出的初始迭代值，選擇恰當的初始猜測值進行航天器小推力多圈轉移軌跡的優化設計。將有限Fourier級數的未知項數的個數、轉移時間和最大正切小推力等作為約束條件，以速度增量最小作為優化設計的目標函數，即將轉移過程中速度增量的最小值作為優化目標，得出多約束條件下的小推力多圈轉移軌跡?；谟邢轋ourier級數的形狀法可將航天器在轉移過程中的徑向大小r和轉移角θ之間的關系表示為

(23)

對式(23)中的徑向大小r對轉移角度θ分別求一階導數和二階導數，并得到結果如下

(24)

將初始位置和末端位置的轉移角度的取值θ=θ0(θ0=0)和θ=θf分別代入式(23)和式(24)，可得

(25)

(26)

根據式(25)和式(26)確定有限Fourier級數的6個系數，即還存在2nr-5個系數沒有被確定。利用所提出的優化方法(簡寫為FFS-nr優化設計)，聯立式(14)和式(23)可得關系式

將轉移角度θ等分為nr份，將M作為三角函數中角度的系數，將FFS-nr表達式中的近似系數用矩陣來表示

X=F-1Y

其中

X=[a0,a1,a2…anr,b1,b2…bnr]T

F=

利用猜測矩陣可以輔助求解余下的2nr-5個未知的系數。

3 仿真試驗及結果分析

3.1 仿真結果

選取初始發射點的軌道根數為a1=3DU,e1=0.6,ω1=30°，末端終點的軌道根數為a2=6DU,e2=0.6,ω2=30°，并給定初始位置為330°，終端位置為120°，最大轉移圈數為Nrev=5。通過MATLAB進行2.1節中初始設計的仿真，得出4種參數的取值情況所計算出的不同參數下的轉移速度增量ΔV、轉移時間tf和最大正切小推力加速度Ta(max)的值如表1(FFS-3初始設計仿真結果)所示。假設2.2節優化設計中有限Fourier級數的項數為nr=10，以轉移時間大于200TU小于1200TU、最大推力加速度小于0.02(DU/TU2)為約束條件，以最小速度增量ΔV作為目標函數進行了優化，目標函數fmin為

fmin=minΔV

約束條件為

利用MATLAB中的Fmincon函數得到的仿真結果如表1(FFS-10優化設計仿真結果)所示。

選取相同的參數、利用逆五階多項式形狀法進行仿真，并與表1中b1=C/2,b3=-D/6的結果進行比較，結果見表2。

表1 基于Fourier級數的小推力多圈轉移軌跡的設計(Nrev=5,nr=10)

表2 本文提出的設計方法與逆五階多項式形狀法的比較結果

三種設計方法所得到的正切推力加速度變化如圖1所示。

(a)逆五階多項式形狀法

3.2 結果分析

從表1中的數據比較可以發現，不同的參數取值會導致不同的初始設計結果，而由初始設計得到的不同軌跡表達式的初始猜測值將會影響所求目標軌跡的優化設計。在進行航天器轉移軌跡的設計時，相對精確的初始猜測值不僅可以減少轉移時間，還能利用較小的推力值實現轉移目標，并利用較小的速度增量達到轉移的目的。由表2可知，相比逆五階多項式設計方法，本文提出的基于有限Fourier項數的航天器小推力轉移軌跡形狀法的速度增量更小。當航天器小推力多圈轉移的轉移圈數為5圈、有限Fourier級數的未知項數為10時，可以減少近75%的轉移速度增量。

4 結 論

本文提出了一種基于有限Fourier級數的形狀法，描述了航天器轉移軌跡的徑向大小和轉移角之間的關系，并進行了航天器小推力多圈轉移軌跡的設計。通過選擇不同的參數值，完成了小推力航天器多圈轉移軌跡的初始設計和優化設計，從數值上比較了由轉移軌跡初始設計得出的初始猜測值對優化設計結果的影響，得出了精確的初始猜測值可以實現更佳轉移目標的結論。但是，本文未考慮具有時間限制的轉移軌跡的設計問題，也沒有考慮非共面、非同軸、具有不同離心率等情況下的轉移軌跡初始設計和優化問題，因此后續將繼續基于本文提出的有限Fourier級數形狀法進行進一步研究。