覆冰四分裂導線的氣動特性與舞動特性

閔光云，劉小會*，嚴 波，孫測世，蔡萌琦

(1.重慶交通大學省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；2.重慶交通大學土木工程學院，重慶 400074；3.重慶大學航天航空學院，重慶 400044；4.成都大學建筑與土木工程學院，成都 610106)

當冬季來臨，由于覆冰的影響輸電線自身的圓形截面會變為非圓形，當非圓形截面覆冰導線受到來自水平方向的風荷載作用時，線路自身會產生空氣動力[1-3]。由于空氣動力的存在，在一定大小的攻角下覆冰導線很容易發生舞動[4]。覆冰導線的舞動是一種低頻、大振幅的自激振動，具有強烈的幾何非線性特點，即大位移、小應變[5-13]。大幅度的舞動會造成線路頻繁跳閘與停電，而長時間大幅振動所產生的交變張力會使得螺栓松動或損壞[2-3]，進而導致斷股、金具磨損以及塔臂破壞等嚴重事故[14-15]。關于舞動發生的原因，Den-Hartog[16]提出了豎向失穩機理，以Nigol[17]為代表的研究人員提出了豎向-扭轉二自由度耦合的舞動機理。此外還有科技工作者提出了其他舞動機理，但是只有Den-Hartog機理、Nigol機理受到了學術界青睞。

基于此，首先通過風洞試驗研究了尾流效益對氣動力系數曲線走勢的影響，再采取等效替代法得到了四分裂導線等效氣動力系數曲線，并觀察等效后的四分裂導線氣動力系數曲線的趨勢，最后推導了覆冰導線y軸、z軸方向的氣動力3次擬合曲線表達式，結合MATLAB軟件研究了覆冰四分裂導線的舞動特性。

1 覆冰四分裂導線氣動此系數試驗

1.1 覆冰四分裂導線數學模型

雖然由于地形、溫度、風速以及導線結構參數等不同，分裂導線的覆冰冰型紛繁多樣，但是由日本學者調研觀察得知，覆冰冰型主要表現為新月形冰型[7]。因此只針對新月形覆冰冰型進行討論，且只研究覆冰厚度為12 mm的覆冰冰型。首先建立四分裂導線節段模型圖，如圖1所示。

1、2、3、4分別為覆冰四分裂導線各子導線的編號；U為風速；α0為初始凝冰角；θ為扭轉角；r為各子導線到轉動中心的距離；kθ、ky、kz分別為扭轉方向、y軸方向、z軸方向的扭轉剛度

1.2 試驗設備

試驗由中國空氣動力研究與發展中心低速空氣動力研究所依據《大型試驗質量管理要求》(GJB 1452—1992)在低速所1.4 m×1.4 m風洞進行。

試驗需要用到兩種型號的天平，即TG0151A天平、TG0151B的天平，該兩種型號的天平用來測量分裂導線與單導線模型的阻力、升力。天平實體圖像如圖2所示。

圖2 TG0151A

1.3 試驗模型

四川西昌大風頂地區的自然條件極其滿足試驗目的，因此選擇該地區作為試驗模擬的地區。分裂導線模型型號選擇4XLGJ-400/50，且每根子導線的型號與其他結構參數都完全相同導線模型如圖3所示。試驗安全系數選取2.5，導線最大使用應力與平均運行應力分別為105.9、66.2 MPa。分裂導線的直徑均為27.6 mm，且分裂導線之間使用型號為FJZ-400的間隔棒將分裂導線銜接為一個整體，間隔棒的作用是使得相鄰子導線間隔距離保持為450 mm，進而使得各子導線發生舞動時不會糾結纏繞在一起，保證試驗安全進行。使用比例為1.2∶1的導線測力試驗模型，其材料為硬鋁，直徑d與長度L分別為33、710 mm。

圖3 導線模型

1.4 試驗內容與數據處理

試驗主要測試四分裂導線模型在不同風速U、不同攻角α下(攻角α變化范圍為0°～360°)的氣動力系數。圖4為靜態導線測力試驗裝置，使用該裝置每間隔5°測試一次氣動力系數，且該裝置轉動的方向為順時針。

圖4 靜態導線測力試驗裝置

為了便于數據的整理，在靜態空氣動力特性試驗過程中做出以下定義：四分裂導線各子導線的風向角均定義為逆氣流方向與覆冰截面對稱線之間的夾角，面向來流，逆時針轉動為正。

覆冰四分裂導線靜態空氣動力特性試驗測得的空氣動力系數包括阻力系數CD和升力系數CL，且無量綱的空氣動力參數定義如式(1)、式(2)所示[8]：

(1)

(2)

式中：FD、FL分別為導線所受的阻力、升力；ρ為空氣密度；L為導線長度；d為導線直徑。

1.5 覆冰厚度為12 mm的新月形四分裂導線的氣動系數

按照以上試驗步驟得到風速為18 m/s擬靜態下覆冰四分裂導線各子導線的氣動力升力系數曲線(圖5)與氣動力阻力系數曲線(圖6)。

圖5 風速18 m/s下覆冰四分裂導線各子導線升力系數對比

圖6 風速18 m/s下覆冰四分裂導線各子導線阻力系數對比

觀察圖5、圖6可知，各子導線的氣動阻力系數曲線CD隨著攻角α整體變化的規律具有兩端低、中間凹的特點，有點類似盆地丘陵地貌。而各子導線的氣動升力系數曲線CL隨著攻角α整體變化的規律為由正到負的波狀變化，當攻角α小于40°時氣動升力系數曲線CL呈上升趨勢，當攻角α處于40°～120°時氣動升力系數曲線CL呈下降趨勢，當攻角α處于120°～160°時氣動升力系數曲線CL又有一段上升期，當攻角α處于120°～160°時CL呈下降趨勢，比攻角α處于40°～120°時更加明顯，攻角α處于后180°時的CL和攻角α處于前180°時的CL鏡像對稱。

當保持攻角α的度數不變時，各子導線的氣動阻力系數曲線CD隨平均風速U增加而減小，但因為各子導線所處位置的不同而具有不同的尾流效應，各子導線的氣動阻力系數曲線CD發生突降的位置也不同。子導線1的氣動阻力系數CD在攻角為135°附近受到子導線2的尾流影響驟降。子導線3的氣動阻力系數CD在攻角45°附近受到子導線2尾流影響發生驟降。子導線4的氣動阻力系數CD在45°、90°、135°左右分別受到子導線1、子導線2、子導線3的尾流效應影響驟降。

2 覆冰四分裂導線的氣動力特性

2.1 覆冰四分裂導線的等效氣動力系數

由1節新月形覆冰四分裂導線的氣動特性分析得知：各子導線所處位置的不同會使得其自身受到不同的尾流效應，進而導致各子導線的氣動特性并不能準確反映覆冰四分裂導線整體的氣動力特性。覆冰四分裂導線的舞動通常表現為整體的舞動，因此可將覆冰四分裂導線各子導線的氣動力系數等效到其中心軸上，進而在研究覆冰四分裂導線的舞動特性。為了得到等效覆冰四分裂導線氣動力系數變化規律，對覆冰四分裂導線的等效氣動升力系數和等效氣動阻力系數的定義如式(3)、式(4)所示[8]:

(3)

(4)

將圖5、圖6中的氣動系數分別按式(3)、式(4)的定義整理，得到覆冰四分裂導線等效氣動系數如圖7、圖8所示。

圖7 覆冰四分裂導線在風速為18 m/s下的等效升力系數

圖8 覆冰四分裂導線在風速為18 m/s下的等效阻力系數

觀察圖7、圖8可知，覆冰四分裂導線等效氣動力系數曲線與各子導線氣動力系數曲線的整體規律幾乎相同，將圖7、圖8與圖5、圖6作對比，發現兩者多出細節存在差異，因為這些細節差異可能造成舞動效果的差異。

2.2 馳振穩定性分析

根據Den-Hartog馳振原理[16]，覆冰四分裂導線馳振穩定性可以根據式(5)來判定。

(5)

式(5)中:DDen為Den-Hartog系數，若DDen小于零則覆冰四分裂導線可能發生舞動，可以看出影響Den-Hartog系數的氣動系數為氣動阻力系數CD與氣動升力系數CL。

將圖7所示的氣動升力系數曲線CL取一階導數，并與圖8的氣動阻力系數曲線CD相加得到Den-Hartog系數曲線，如圖9所示。

圖9 覆冰四分裂導線在風速18 m/s下的等效Den-Hartog系數

因為當攻角α處于后180°的Den-Hartog系數曲線與當攻角α處于前180°的Den-Hartog系數曲線幾乎對稱，因此只考慮前180°的氣動特性。觀察圖9可知，在攻角α處于40°～60°及攻角α處于150°～180°可能產生舞動。

2.3 單檔覆冰四分裂導線控制方程推導

建立如圖10所示的單檔覆冰導線振動力學模型，導線兩端用固定鉸鏈約束，Г1為在自重作用下的平衡形狀，Г2為在其他外部載荷作用下的導線形狀。為了給出導線的動力學方程，建立笛卡爾坐標系。選取左端懸掛點為坐標原點，x軸沿著兩懸掛點的連線方向，y軸豎直向下，然后根據x軸與y軸確定垂直平面向里的z軸方向。

x表示x軸方向的靜態位移；u1表示x軸方向的動態位移；y表示y軸方向的靜態位移；u2表示y軸方向的動態位移；z表示z軸方向的靜態位移；u3表示z軸方向的動態位移

為了建立單檔覆冰導線的自由振動力學模型，在重力作用下導線的平衡構型上選取長度為ds的微元，在其他外部載荷作用下導線形狀發生改變，則相應的微元長度變為dsm，該位置處導線軸向應變ε為

(6)

由哈密頓變分原理可得：

(7)

式(7)中：δkv為覆冰導線的動能；δ∏為覆冰導線的勢能；δw′為覆冰導線保守力做功之和。

針對單檔導線，式(7)中各項分別表示為

(8)

(9)

式中:m為單位長度覆冰導線的質量；H為覆冰導線上的張拉力；EA為覆冰導線材料的抗拉剛度；l為導線跨徑。聯立式(7)～式(9)并考慮覆冰導線所受重力，材料的黏性阻力及外部激勵力可得：

(10)

(11)

(12)

式中：fx、fy、fz分別為覆冰導線x、y、z軸方向的阻尼系數；Fx、Fy、Fz分別為x、y、z軸方向的氣動力。

將動張力進行等效處理，然后采取Galerkin方法離散方程。沿長度范圍計算平均應變為

(13)

并將式(13)代入式(11)和式(12)，并忽略導線軸向慣性力可得

(14)

因為覆冰導線的振動主要受基本模態的影響，因此應用一階模態截斷法，可將u2、u3表示為

(15)

式(15)中:ψ2(x)、ψ3(x)表示模態函數；q2(t)、q3(t)表示振動函數。

將式(15)代入式(14)可得：

(16)

(17)

式中:“·”表示對t求導；“′”表示對x求導。

將式(16)兩邊同時乘以ψ2并對全長積分可得到覆冰導線y軸方向的振動控制方程為

(18)

式(18)中：

(17)

將式(17)兩邊同時乘以ψ3并對全長積分可得到覆冰導線z軸方向的振動控制方程為

(20)

式(20)中:

(21)

2.4 單檔覆冰四分裂導線舞動特性分析

結合圖9的Den-Hartog系數曲線，判斷可能發生舞動的位置，經過觀察后選取攻角α為55°、180°這兩點來研究覆冰四分裂導線的舞動特性。

建立氣動載荷分析數學模型圖11所示，選取新月形覆冰導線為研究對象，假設真實風速沿著水平方向，由于在豎直方向此時有初始擾動使得導線在y方向有初始速度，相對風速發生了改變，因而與真實風速之間存在夾角，需要注意的是，這個夾角會不斷變化，因為相對風速的方向及大小也隨著不斷變化。

忽略x方向的氣動載荷，覆冰四分裂導線受到兩個方向的氣動升力：Fy為y方向上的氣動力載荷，Fz為z方向上的氣動力載荷。根據空氣動力學結論有:

(22)

(23)

式中：Cy(α)、Cz(α)為擬合后的氣動力系數；D為迎風直徑；α為攻角；ρ為空氣密度；U為平均風速。

將Cy(α)在α=0處進行泰勒展開，并省略4階與4階以上的高階小量，則:

Ο(α4)

(24)

式(24)右邊各項可分別表示為

(Cy|α=0)=CLcosα+CDsinα=

(CL|α=0)

(25)

(26)

(27)

(28)

由于常數項是一個定常量，只有靜力效益，并不影響覆冰四分裂導線的振動，忽略常數項并將式(25)～式(27)代入式(24)可得:

(29)

式(29)中：Ο(α4)表示與α有關的高階小量。

同理可得到z軸方向的氣動力系數表達式為

Ο(α4)

(30)

令式(24)中的攻角α的一次項系數為χ1，二次項系數為χ2，三次向系數為χ3，即

(31)

則Cy(α)可以表示為

Cy=χ1α+χ2α2+χ3α3

(32)

同理Cz(α)可以表示為

Cz=γ1α+γ2α2+γ3α3

(33)

將圖7、圖8的氣動力曲線分別求一階、二階、三階導數，然后將得到的導數代入式(25)～式(27)并結合式(24)可得知當攻角α處于55°時，有：

Cy=-0.960 60α-1.407 16α2+

97.623 15α3

(34)

Cz=2.397 95α-7.008 26α2-

119.956 12α3

(35)

同理可得到攻角α處于180°時，有：

Cy=-1.863 64α+11.044 65α2+

144.171 26α3

(36)

Cz=0.498 98α+7.802 58α2-

39.215 99α3

(37)

將表1中導線的物理參數代入振動控制方程的系數表達式中，并選取模態函數ψ2(x)=sin(πx/l)，ψ3(x)=sin(πx/l)，導線長度l=300 m，最后結合式(34)、式(35)、式(20)與式(21)并利用MATLAB四階Runge-Kutta函數，得到覆冰四分裂導線在攻角α為55°的舞動位移曲線，如圖12所示。

表1 導線的物理參數

圖12 攻角α為55°時的舞動時程圖

結合式(34)、式(35)、式(18)與式(19)，并利用MATLAB四階Runge-Kutta方法，得到覆冰四分裂導線在攻角為180°的舞動位移曲線，如圖13所示。

圖13 攻角α為180°時的舞動時程圖

觀察圖12、圖13可知，攻角α處于55°和攻角α處于180°這兩種情況下z軸方向的振幅都遠遠小于y軸方向的振幅。分裂導線z軸方向與y軸方向達到穩定振幅值的時間相差不大，大約都在50 s時達到了穩定值，且達到穩定后周期將保持不變。從點的運動軌跡可得知剛開始振動時z軸方向的振幅較大，隨著時間的增加，y軸方向的位移不斷增加，振動的最后y軸方向的位移將遠遠大于z軸方向的位移。這是由于剛開始分裂導線受到水平方向的風作用，在風的推動下z軸方向開始產生位移，當z軸方向開始產生位移后，由于y軸方向受到負斜率的空氣動力的影響也將慢慢開始舞動，因此點的位移表現為前半段以z軸位移為主，后半段以y軸位移為主。

3 結論

覆冰四分裂導線各子導線盡管材料相同，但由于尾流效益的存在各子導線的氣動系數有著明顯的區別，因此考慮某一根子導線的舞動特性并不能反映四分裂導線整體的舞動特性。導線舞動后z軸方向的振幅遠遠小于y軸方向的振幅，達到穩定后周期將保持不變。振動開始導線主要表現為z軸方向的振動，隨著時間的增加，y軸方向的振幅逐漸增加，穩定時y軸方向的位移遠大于z軸方向的位移。