挖掘教材資源，打造有深度的數學課堂
——以“圓柱的體積”一課為例

福建省莆田市仙游縣教師進修學校 葉建炳

一、喚醒舊知遷移轉化，促進有效學習

在數學上，新知的學習往往是建立在舊知的基礎上的，是舊知的發展和延伸。而新知的習得過程也是化新為舊、遷移轉化、知識同化的過程。在這一環節中，教師要做的是喚醒學生的舊知，搭設新舊知識之間的橋梁。筆者在“圓柱的體積”一課中安排了如下導課環節。

教學片段1：回顧遷移

師：圓柱體和我們以前學過的哪些幾何圖形有聯系？

生：圓柱的上下兩個底面是圓形，側面展開是長方形，所以我想圓柱可能和長方形有關系。

生：圓柱是立體圖形，長方形是平面圖形，所以圓柱應該和長方體有關系。

師：請大家回憶一下，在學習“圓的面積”時，我們是怎樣將圓轉化成已學過的圖形，來推導出圓面積公式的。

生：把圓分成小扇形，然后拼成一個近似長方形……

師：在把圓轉化成長方形的過程中，什么變了？什么沒變？它們之間有什么關系？

生：從圓轉化為長方形的過程中形狀變了，大小不變。所以我們只要求出轉化后的長方形的面積就能求出圓的面積……

生：從轉化后的長方形中我發現長方形的長正好是圓的周長的一半，長方形的寬正好是圓的半徑。因為長方形的面積等于長乘以寬，長等于圓周長的一半就是πD÷2=πr，所以圓的面積就等于πr2。

師：從圓的面積公式推導過程你們得到哪些啟示？這個方法能不能用于圓柱體積公式的推導？

生：我們也可以把圓柱轉化為長方體，然后用求長方體體積的方法求出圓柱的體積。

通過對圓的面積公式推導過程的回憶再現，喚醒學生舊知，聯想到把圓切分成小扇形，拼成近似長方形并推導出圓的面積計算公式的過程，為探究圓柱的體積公式提供經驗和方法，并由“面”到“體”，通過動手操作實踐，把圓柱切拼轉化成近似長方體，這樣化新為舊，然后用求長方體體積的方法來推導圓柱體積公式。

二、對比推理突出核心，發展空間觀念

新課標指出：“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”圓柱體積公式的推導過程是培養學生推理能力的重要載體，也是發展空間觀念的重要途徑。

教學片段2：自主探究

師：現在再請一位同學到前面來演示轉化過程。其他同學邊觀察邊思考：（1）切割后拼成了一個近似于什么的形體？（2）圓柱的體積與拼成后的長方體的體積有什么關系？（3）這個長方體的底面積等于圓柱的什么？（4）長方體的高與圓柱體的高有什么關系？

生：切割后拼成了一個近似于長方體（如圖1）的形體，形狀變了，體積大小不變，長方體的底面積等于圓柱的底面積，高等于圓柱的高，所以……

生：切割后拼成了一個近似于長方體（如圖1）的形體，形狀變了，體積大小不變，長方體的長是圓柱周長的一半，長方體的寬是圓柱的底面半徑，長方體的高就是圓柱的高，所以……

圖1

學生通過對圓柱體轉化為長方體這一過程的前后對比，發現轉化后的長方體的底就是原來圓柱體的底，長方體的高就是圓柱體的高，在轉化的過程中，圓柱的形狀發生了變化，然而它的體積不變，從而推導出圓柱的體積=底面積×高（V=sh），同理也可推導出V=πr2×h。

然而，這樣的操作轉化過程也不是一帆風順的。如果學生是真操作，必然會因轉化后的長方體的不同擺放方法而遇到學習困難。

教學片段3：圖形變化

師：你們還有什么問題和困難？請××同學來匯報一下。

生：我也是把圓柱體轉化成長方體的，只是這個長方體的底面不是圓柱體的底面，高也不是圓柱體的高（如圖2），所以……

圖2

師：在你的這個長方體里還能不能找到圓柱的底面？

生：圓柱的底面跑到前面這個面來了。

圖3

師：動手試試，改變一下這個長方體的擺放方法，你有什么發現？

生：（操作）我知道了，原來可以這樣擺，轉一個方向，把前面這個面放在下面作底面，就可以發現長方體的高還是原來圓柱體的那個高……

師：還有哪位同學也有類似的問題？

生：我的問題跟他差不多，只是我擺得跟他不一樣，我是這樣擺的（如圖3）。

生：現在我也知道了，像他那樣，把這個圖（如圖3）轉過來擺放，找到原來圓柱的底面并將它擺作底面，這樣就跟大家一樣了，就能找到對應的底面積和高了。

對于空間觀念較強的學生，通過觀察很容易就會發現問題并調整改變擺放方法，發現長方體與圓柱體是等底等高。而那些空間觀念較弱的學生就會因擺放的方法和位置不一樣而產生學習上的障礙，這時候就需要引導學生通過反復操作、觀察、對比、發現，從而解決問題，促進學生空間觀念的發展。

三、深度挖掘發現問題，拓寬學生思維

學生思維的訓練和推理能力的培養是數學課堂的一項重要內容。然而，對于大部分教師來說，公式推導出來了，本課的主要任務也完成了，剩下的只是運用、鞏固、反思、總結。但是，一堂有深度的好課必須是有問題、有困惑、有思考、有拓展的，所以教師必須要有問題意識，才能培養學生的問題意識。

教學片段4

師：通過前面的操作，我們發現，拼出來的長方體因擺放位置不同而產生了學習障礙，而這個障礙是可以通過改變位置解決的。想一想，如果不改變擺放位置，你們還能找出這個長方體的底和高并求出體積嗎？

師：就像剛才××同學是這樣擺放拼出來的長方體（如圖2），如果我們把下面這個面看作底面，那它對應的高在哪里？

生：（邊說邊指出）靠下面的那個面是底面，豎起來的這條是高。

師：能不能知道它的底面積和高各是多少？

學生通過對比、思考、討論發現，這個長方體的底面就是圓柱體側面的一半，高就是圓柱底面圓的半徑，所以體積=側面積÷2×高（V=2πr÷2×r×h=πr2×h）。

同理，學生還發現第三種擺放方式（如圖3），它所對應的底面是圓柱沿高豎切面（面積是直徑乘高，即2rh）的一半即rh，高是底面周長的一半即πr，所以體積V=πr2×h。

教學中，教師還可以引導學生從轉化后的長方體中逐一找出它的長、寬、高，讓學生明白長方體的長、寬、高分別是圓柱體底面周長的一半、底面半徑和圓柱的高，把它們一一對應，這樣就可以不受擺放位置和方向的影響，讓學生學得靈活生動。

通過對前面三種方法的對比、梳理，學生融會貫通，思維完全打開了，從而避免了方法單一片面、死記硬背公式的通病。同時積累了數學活動經驗，增強了問題意識，提高了分析和解決問題的能力。

四、建立模型同化提升，培養創新精神

新課標指出：“作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力方面的不可替代的作用。”

圓柱的體積學習之后，在練習中可以設計一個求半圓柱體的體積習題，并引發探討。

教學片段5

練習：一個半圓柱體鋼坯，底面半徑是2 分米，高8 分米，它的體積是多少立方分米？

師：說說你是什么求出這個半圓柱的體積的。

生：兩個這樣的半圓柱可以拼成一個圓柱體，用底面圓的面積乘高求出圓柱的體積，然后除以2，得出半圓柱的體積。

師：誰還有不同的方法？

生：我直接用底面半圓的面積乘高，就是這個半圓柱的體積。

師：對這種方法你們怎么看？

生：比較簡潔，但是沒有這樣的公式，能不能直接用底面半圓面積乘高？這有沒有道理？

師：那我們就來分析一下底面圓的面積×高÷2 和底面半圓面積×高這兩種方法有什么區別和聯系。

最后，引導學生對已經學習過的長方體、正方體和圓柱的特征和體積公式進行對比，從中發現，這些物體有一個共同的特征，都是從上到下形狀大小一樣，我們把它們稱為柱形體，它們都可以用底面積乘以高（V=sh）求出體積。從而加深學生對知識體系的理解，培養學生的推理遷移能力，促使學生建立求柱形體體積的數學模型，完成了知識的同化。然后拓展延伸運用于如三菱柱、堤壩等有關問題的解決，舉一反三，培養學生創新精神和運用意識。

總之，在小學數學課堂教學中，教師首先要充分了解學生，充分理解教材，充分挖掘教材資源，抓住數學的內在本質和核心，全面整體把握教材，才能打造有深度的數學課堂。