引用中考經典試題 凝聚學科核心素養

歐陽鑾容

（福建省莆田哲理中學，福建莆田 351100）

引 言

觀察近三年福建省中考數學試題不難發現，試題帶有濃濃的硝煙味，體現著數學學科必備的學科素養[1]。筆者以欣賞的方式選擇適于課堂教學的經典案例。學習了九年級第二十四章“圓的知識”后，進行章節復習時，筆者在課堂上詳細講解了2018年福建省中考數學（B）試卷的第24 題。

【案例】如圖1 所示，D是ΔABC外接圓上的動點，且B、D位于AC的兩側，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F。BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC、FB的延長線交于點P，且PC=PB。

（1）求證：BG//CD。

（2）設ΔABC外接圓的圓心為O，若AB=3DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小。

圖1

一、剖析考題涵蓋的知識點，分析試題考查的學科能力

試題以“圓”出現，一定會考查圓的相關性質；給出了三角形，就會運用三角形的性質定理，尤其是等腰三角形的性質定理。圖2 的備用圖中出現直角三角形，因此一定有直角三角形的性質應用。問題（1）要求證BG//CD，證明推理過程中一定用到平行線的性質與判定定理；問題（2）要求∠BDE的大小，考查學生的數學綜合運算能力和推理能力。

圖2

毋庸置疑，本題是一道綜合性很強的試題，將空間觀念與幾何的直觀性緊密結合起來，融入數學的化歸與轉化思想，也是分類與數形轉換學科素養的具體體現[2]。

二、點撥考題重要知識點，引導學生在探究中培養學科素養

第（1）問求證平行線的判定定理，讓學生回歸這方面的知識，總結歸納出這么幾點：①同位角相等；②內錯角相等；③同旁內角互補。然后進行思考作答，選擇恰當的平行線判定定理。

題干中有“BG⊥AD，垂足為G”，說明∠AGB=90°，只要證明∠ADC=90°，即可證明BG//CD。也就是證明AC為圓的直徑，需要證明ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°。

再從題干PC=PB出發， 根據三角形的等邊對等角性質得出∠PCB=∠PBC， 根據四點共圓的 性 質 可 知∠BAD+∠BCD=180 °， 從 而 得 出：∠BFD=∠PCB=∠PBC。

再由平行線的判定知道BC//DF，即得出∠ABC=90°。至此，可引導學生寫出規范步驟。

如圖1 所示，因為PC=PB，所以有∠PCB=∠PBC。

又因四邊形ABCD內接于圓，其對角∠BAD+∠BCD=180°。

再 由∠BCD+∠PCB=180 °， ∠BAD=∠PCB； 因∠BAD=∠BFD，故∠BFD=∠PCB=∠PBC，BC//DF。

學生容易忽略同位角相等直接得出BC//DF的結論，在此多加強化，以增強解題過程的嚴密性。

由DE⊥AB，∠DEB=90°，∠ABC=90°，AC為圓的直徑，∠ADC=90°；再由BG⊥AD，∠AGB=90°，∠ADC=∠AGB，故BG//CD。

學生容易忽略BG⊥AD，∠AGB=90°，∠ADC=∠AGB，造成答題不規范。只有要求規范答題，才能培養學生的學科素養。

第（2）問讓學生回歸特殊三角函數值、直角三角形與角度的關系等知識。要求∠BDE的大小，先需要把BD連接起來，證明四邊形BCDH是平行四邊形，推出BC=DH，根據特殊的三角函數值確定∠ACB=60°，∠BAC=30°，進而得出再分圖3、圖4 兩種情況進行討論。

圖3

圖4

通過課堂分析，引導學生正確書寫答題過程。

由（1）可知：BC//DF，BG//CD，所以四邊形BCDH是平行四邊形，由此可知BC=DH；

已知在直角ΔABC中，因此，∠ACB=60°，∠BAC=30°；

∠ADB=60°，直角三角形中有，從而可得出

討論：學生只是按圖1 去思考問題，沒有討論，答案不全。教師應及時進行點撥，可以提高學生對數學知識的思辨能力、分析討論能力。

①當圓心O在DE的左側時，在圖3 中，作直徑DM，連接AM、OH，就可以確定∠DAM=90°，∠AMD+∠ADM=90°。

又因DE⊥AB，所以∠BED=90°，∠BDE+∠ABD=90°；

因為∠AMD=∠ABD，所以∠ADM=∠BDE；

又有∠AOB=60°，故有∠ADM+∠BDE=40°，得出∠BDE=∠ADM=20°。

②當圓心O在DE的右側時，如圖4 所示，作直徑DN，連接BN，根據①的推斷可知：∠ADE=∠BDN=20°，即∠ODH=20°，因此，∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°。

學生沒有根據①的推斷得知：∠ADE=∠BDN=20°，而是再次將①中的步驟復述一遍，造成步驟煩瑣、重復。學會簡化過程，思路清晰，這是構建學科素養必備的素質[3]。

由①和②可知，∠BDE的度數為20°或40°。

結 語

總而言之，中考試題是命題專家為考查學科核心素養而精心策劃的，具有典型性。課堂上引經據典，一方面可以剖析考題涵蓋的知識點，分析試題考查的學科能力；另一方面，還可以點撥考題涉及的重要的知識點，引導學生在探究中培養學科核心素養。