斜拉索風雨振影響參數的理論研究

陳冬劍 畢 偉 胡云天

（1.江蘇省建筑工程質量檢測中心有限公司，南京210000；2.邢臺職業技術學院，邢臺054000；3.中交公路規劃設計院有限公司，北京100088）

0 引 言

當前斜拉橋在設計階段就考慮拉索的風致振動危害問題，其中以風雨振最為突出，很多大跨度斜拉橋已經將風洞試驗研究列于設計文件之中，然而由于拉索長度制約，風洞研究普遍采取節段拉索進行試驗以獲得相應的氣動力試驗數據，故有必要進行節段拉索風雨振理論模型的推導，給出相關分析結果以供風洞試驗研究進行參考比對。

在理論分析方面，Yamaguchi［1］建立了首個彎扭耦合的兩自由度節段拉索模型；彭天波［2-3］建立了含上下水線的三自由度節段拉索模型；杜曉慶［4］通過試驗獲得了拉索和水線平均氣動力系數建立了更精細的兩自由度節段拉索模型；李暾［5］研究了水線與拉索表面的相互作用力，確定了PE材料表面的庫倫阻尼力約為0.062 7 N/m，并根據Prandtl 邊界層理論確定了黏滯線性阻尼力約為1 Ns/m2，相互作用力的確定使得風雨振節段拉索模型更加完善。

然而，在當前日趨完善的風雨振模型下，斜拉索與水線的參數對風雨振影響規律的定量研究還不多，基于此原因本文開展了相應的研究工作。

1 風雨振節段拉索模型

1.1 理論模型推導

本文采用運動水線兩自由度節段拉索風雨振理論模型，結合國內外當前對于風雨振的認知，可作如下假設：

（1）考慮斜拉索面內振動，忽略面外振動；

（2）計入上水線影響，下水線穩定性可不計；

（3）水線的形狀、大小在風雨振時保持不變；

（4）水線的質量遠遠小于拉索的質量；

（5）準定常假設成立。

風雨振斜拉索理論模型的示意圖如圖1 所示，其中圖1（a）給出了節段拉索空間位置示意圖。根據圖1（b）可建立拉索沿面內方向的振動微分方程，其表達式為

由圖2 可建立上水線沿拉索表面作周向運動的微分方程：

圖1 風雨振模型Fig.1 Rain-wind induced vibration model

式（1）和式（2）中：Mc為單位長度拉索的質量；m為單位長度水線的質量；c為拉索阻尼系數；k為拉索剛度系數；g為重力加速度分別為斜拉索在面內發生振動的位移、速度和加速度；θ0為水線的初始位置分別為水線的角位移、角速度和角加速度；R為拉索截面半徑；cr為黏滯線性阻尼系數；文獻［6］將水線振動的彈性回復力kθ假設為庫侖阻尼力F0；sgn（）為符號函數；FL為拉索受到的平均氣動升力；FD為拉索受到的平均氣動阻力；fτ為水線受到的平均氣動力沿拉索表面切線方向的分量；FN為斜拉索表面與水線之間的正壓力；α為拉索傾角。

圖2 相互作用力示意圖Fig.2 Interaction force diagram

由圖1（a）可獲得相對風速Urel與水平風速的夾角φ值為

式（3）中：

式中：β為風偏角；U0為來流風速。

Urel相對風速的大小為

式（1）中，拉索受到的平均氣動力為

式（2）中，水線受到的平均氣動力沿拉索表面切向的分量fτ為

式（7）-式（9）中：

式中：D為斜拉索的直徑；CL為拉索的平均氣動升力系數；CD為拉索的平均氣動阻力系數；B為水線表面圓弧直徑；fL、fD分別為水線受到的平均升力和阻力；cl、cd分別為水線平均升力和阻力系數；ρ為空氣密度。

在式（1）中，根據假設（4），由于單位長度水線質量m、正壓力FN、庫侖阻尼力F0和黏滯線性阻尼力crRθ˙的值很小，在方程中可以忽略不計。因此式（1）可以化簡為

式中：ξ為拉索的阻尼比；ω為拉索振動圓頻率。

拉索風雨振的求解即轉化成對于式（2）和式（11）的微分方程求解。

1.2 拉索風雨振響應

拉索風雨振的求解算法采用四階龍格庫塔法。其中拉索與水線的氣動力系數選取杜曉慶在節段拉索風洞試驗中粘貼固定人工水線進行試驗測得的數據［4］。節段拉索參數、水線參數以及振動初始條件見表1。

經計算獲得拉索在振動后期振幅與風速的關系如圖3 所示，可見拉索風雨振呈現出明顯的“限速限幅”特性且發生在較低的風速下，這與當前拉索風雨振的模擬與實測結果相符合。在當前工況下，拉索風雨振出現三個平穩段和兩個起振風速區間。

圖4 給出了拉索在三個平穩段和兩個起振風速區間內某一風速下的振動時程，由圖可見平穩段的拉索振幅由于自身阻尼作用振動呈現衰減形式，而在兩個起振風速區間內，拉索發生了穩定持續的大幅振動。

表1 參數取值Table 1 Parameter value

圖3 拉索振幅與風速的關系Fig.3 Relationship between cable amplitude and wind speed

將起振風速區間內拉索與水線的振動經快速傅立葉變換得到其幅頻如圖5 所示，拉索以其固有頻率發生振動，水線振動的主要頻率與拉索固有頻率相一致，同時夾雜著少量的倍頻成分。

2 拉索風雨振參數影響分析

2.1 阻尼比的影響

對于拉索阻尼比的變化對拉索振幅的影響如圖6 所示，拉索最大振幅隨著阻尼比的增加而顯著地減少，當阻尼比達到0.6%后拉索基本不發生共振。與此同時可見，拉索阻尼比的變化并不會改變風雨振起振風速區間。

2.2 黏滯線性阻尼系數的影響

圖4 拉索風雨振時程圖Fig.4 Wind and rain vibration time history

對于拉索和水線之間的黏滯線性阻尼系數cr的推導可參考文獻［5］采用了Prandtl 邊界層理論確定了cr約等于1 Ns/m2，拉索最大振幅隨著黏滯線性阻尼系數的增大會經歷著由小變大，再由大變小這樣的起落過程，其中cr=1 Ns/m2振幅最大（圖7），同時隨著黏滯線性阻尼系數的增大對第一起振風速區間的影響很大，但對第二起振風速區間的改變不顯著。

2.3 單位長度拉索質量的影響

圖5 拉索與水線的幅頻圖Fig.5 Amplitude-frequency plot of cable and waterline

圖6 阻尼比對振幅的影響Fig.6 Effect of damping ratio on amplitude

圖7 阻尼比對振幅的影響Fig.7 Effect of damping ratio on amplitude

在進行節段拉索風雨振的風洞試驗亦或是利用節段拉索理論模型進行計算時，若采用單位長度拉索在實際情況下的質量，其振幅將小于實際連續拉索振幅，因而節段拉索模型通常選取實際連續拉索的折減質量，折減后的單位長度拉索質量約為實際質量的1/5～1/10。對于單位長度拉索質量Mc的變化對振幅的影響如圖8 所示，可見拉索最大振幅隨著單位長度質量的增加而減少，其變化規律類似阻尼比，拉索單位長度質量的變化并不會改變風雨振起振風速區間。

圖8 單位長度拉索質量對振幅的影響Fig.8 Effect of mass of cables per unit length on amplitude

3 風雨振水線參數影響分析

3.1 水線表面圓弧直徑的影響

對于水線參數的取值，目前尚未見有文獻對水線的大小、形狀和質量給出明確的確定方法。針對水線表面圓弧直徑B，參考文獻［4］的假定取值13.5～16.4 mm，通過圖9 可知，B的增大對拉索振動最大幅值的影響近似成線性遞減，隨著B的增大風雨振的風速區間大小基本不變，但風雨振區間出現的風速發生了提前。

圖9 水線表面圓弧直徑對振幅的影響Fig.9 Effect of arc diameter on waterline surface on amplitude

3.2 單位長度水線質量的影響

關于單位長度水線質量m的取值，不同學者［4，7-9］都有所不同，本文考慮由 0.01～0.06 kg/m 變化。而文獻［10］指出觀測到的風雨激振的風速基本在5～20 m/s，圖10 給出了該風速段下單位長度水線質量和拉索最大振幅的關系，可見單位長度水線質量m在0.03 kg/m 以下時拉索振幅較小，m在 0.04～0.06 kg/m 時，拉索在風速 14～20 m/s 時出現了更大的振幅，水線質量的增加同時也會提高起振風速，并且風雨振的風速區間變得更大。

圖10 單位長度水線質量對振幅的影響Fig.10 Effect of waterline mass per unit length on amplitude

4 結 論

本文在拉索與水線相互作用力研究的新進展下進行了節段拉索風雨振的時域頻域分析與影響參數分析，得到以下結論：

（1）拉索以其固有頻率振動，水線頻率的主要成分與拉索相同并夾雜其倍頻成分；

（2）阻尼比與單位長度拉索質量的增加能有效減小振幅且發生風雨振的風速區間基本不變；

（3）黏滯線性阻尼系數的增加能使振幅先增后減，黏滯線性阻尼系數在1 Ns/m2時振幅最大；

（4）水線表面圓弧直徑的增加能使振幅與發生風雨振的風速區間規律性地減小；

（5）單位長度水線質量的增加使得振幅提高，同時帶來風雨振風速區間的增大。