核心素養導向下的“自組織”課例研究*

朱婷婷 陶兆龍 于 健

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》明確指出高中數學教學應以發展學生的數學學科核心素養為導向，這就要求我們教學時改變傳統單一的、線性的和封閉的被組織的教學結構，積極采用獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質，從而逐步向多元的、非線性的和開放的自組織教學結構轉型。本文以高中數學新授課、復習課以及試卷講評課這三種常見課型中的具體教學片段為例，對自組織理論在教學中的應用進行了積極探索。

一、自組織理論在新授課中的滲透

自組織理論視角下的新授課，教師在教學中應關注概念的本質，著眼于整體，讓學生體會知識的整體架構和邏輯發展體系，力爭在思想方法上獲得突破。

案例1：“函數y＝Asin（ωx＋φ）圖象”一節中由y＝sinx的圖象得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的教學。

我們可以在課堂上采用開放式探究，組織學生先獨立思考，自主探究，寫出方案，再小組合作交流。課堂上學生會產生不同方案，如有的學生利用最熟悉的“五點法”做出幾個特殊的函數圖象，然后歸納猜想；有的學生分別研究y＝sin（x＋φ），y＝Asinx，y＝sinωx的圖象與y＝sinx的圖象關系，總結出規律后，再研究如何從y＝sinx的圖象得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的圖象；還有的學生從y＝sinx得到y＝sinωx，然后從y＝sinωx圖象得到y＝sin（ωx＋φ），最后從y＝sin（ωx＋φ）得到y＝Asin（ωx＋φ）的圖象（研究A，ω，φ的次序不同視為同一類方案）。

當學生方案均匯報結束后，我們不急于肯定或者否定，而是追問“同學們，你們認為哪種方案更好呢？為什么？”引導學生的進一步思考，鼓勵學生大膽表達自己的想法，最終發現第一種方案“五點法”雖然簡單易操作，但對于其余的點的變化規律及特征尚不清晰，需要進一步展開研究，而方案二和方案三均是可行的。這時，我們可以引導學生總結“多參數問題”研究的一般思路——控制變量，即用控制變量的個數，將原本復雜的事物簡單化，實現化歸、以簡馭繁的目的。

上述教學過程屬于開放式探究，它強調面對一個問題，讓學生去規劃研究思路，教師站在知識的整體架構和邏輯發展體系的層次上引導學生思考解決問題的方法，最終達到使學生主動感悟解決一類問題的通性通法的目的。

所謂“授人以魚不如授人以漁”，數學教學的目標是為了發展學生的學科素養，讓學生學會用數學的眼光觀察客觀世界，提出問題；面對問題時，學會利用同伴間相互交流合作這種課堂上形成的學生群體自組織，分析問題以及解決問題，最終在教師的引導下形成統攝性的一般觀念，如抽象一個數學對象的方法與步驟，定義一個數學概念的數學方式，研究一個數學對象的基本套路，等等。

二、自組織理論在復習課中的滲透

復習課實則是把書讀薄的過程，如果復習課知識結構由教師給出，課堂例題由教師代為分析，學生的收獲也就是多做了點題，課堂上的興致也不會高，所以這種被組織的課堂是不可取的。而自組織理論視角下的復習課，則是引導學生站在更高層面審視知識結構，自主搭建一個個成熟模塊，穿珠成串，最終達到復習鞏固的目的。

案例2：關于“空間向量與立體幾何”的單元復習課。

我們可以按照“我的整理”“我的易錯題”“我的困惑”這三個環節展開單元復習。

第一步：“我的整理”。學生在課前使用網絡圖或者樹形圖先獨立整理本章知識點，然后在課堂上展示交流。學生做的整理或是全面或是有漏洞，思考或深或淺，作為教師均應充分尊重學生的見解，適時提出“你繪的是什么圖”“為什么這樣繪圖”。這樣就為每個學生提供了課前回顧知識，整理知識，主動尋找知識板塊間關聯的機會，讓每個學生都親身經歷在思考中回顧已學知識的過程，最后通過展示交流，促進對知識的再認識，達到優化認知的目的。

例如在課上，有的學生整理的是利用空間向量解決線線角、線面角、面面角的知識模塊，而有的學生則深入理出了利用空間向量解決線線關系、線面關系、面面關系的知識模塊，還有的學生不僅理出相應知識模塊，還進行了對比分析，不論是哪種整理，這都是學生經過自己深入思考，利用自組織系統進行的整合，教師作為引導者應先給予肯定，然后再指導分析，引導學生站在更高的層面去看本單元的知識。

再如空間向量（三維）實質是將平面向量（二維）推廣到空間的結果，本塊知識注重于數形結合方法的使用，使用空間向量解決立體幾何的問題可以達到化繁為簡的目的。如果學生層次高，我們還可以繼續提升站位，即站在學科層面，引導學生體會向量對數學這一學科具有的不凡意義（數學是研究空間形式和數量關系的科學），向量也是數學及物理（例如物理中力的分解）兩個學科的紐帶，從而擴展學生知識格局，培養其素養。

第二步：“我的易錯題”。新的課程改革強調教師應是學生學習的組織者、引導者和合作者，這就是設計此環節最根本的原因，學生主動接收信息要比教師耳提面命效果要好得多，學生對易錯點的反思往往能促成知識重難點的突破。

當然，作為引導者，我們在課堂上可以有意識地選擇比較典型的學生“易錯題”以達成我們復習的目標。例如在本節課展示交流“我的易錯題”應圍繞空間向量的兩個基本問題展開：一是讓學生體會空間向量是將平面向量推廣到空間的結果；二是借助空間向量的坐標運算解決空間圖形的形狀、大小及位置關系等問題，讓學生體會向量工具的優越性。當然，展示時我們可以僅展示題目，讓學生獨立思考，分別講出自己的解題思路，再由本題學生作者進行補充點評，當學生間達成共識后，作為教師的我們可以進一步引導學生圍繞“我的易錯題”所涉及的知識點進行出題，站在命題者角度思考，進一步深化所學。

第三步：“我的困惑”。該環節由學生自由發言，提出自己對本模塊知識還存有的困難點，它可以鍛煉學生提出問題的能力，本環節更能看出學生的思維路徑，也有利于培養學生的創造力，因為只有“真思考”，才能提出“好問題”。

三、自組織理論在試卷講評課中的滲透

自組織理論視角下的試卷講評課，可以利用大數據分析工具診斷問題點，讓學生在主講、質疑中練習表達，達到學習傾聽、投入心智、完善自我的目的。

案例3：“診、議、評、提”模式下的高三月考試卷講評課。

第一步：“診”，即通過大數據工具診斷分析問題點。在這個大數據時代，輔助教學類智能軟件及數據分析統計的智能平臺應運而生，利用大數據帶來的反饋信息可以有效做到偏差預警，從而服務于我們的教學。例如我們可以在考后結合數據繪制如表1 所示的“考后自查診斷表”，并要求學生在課前完成此表，這樣學生既利用“自組織”完成了對本次考試的自查分析，又鍛煉了個人的數據處理能力，提升數據分析的數學核心素養。例如某次月考試卷講評課，根據表格我們可以確定本節課的重點為解決考察函數方程不等式的題組，利用數據進一步分析得出其中錯誤較多的是第13、14、20 題。下面我們以第13，14題展開具體說明。

表1 考后自查診斷表

第14題：已知f（x）＝│x2－1│＋x2＋kx＋9在（0，4）內有且僅有兩個零點，則實數k的取值范圍是 。

第三步：“評”，即全班交流，對黑板上的解答進行點評。主要從三個方面進行點評：第一，黑板上的解法好不好？第二，你是否有別的解法？第三，你能對此類題進行總結嗎？課堂上學生經過充分的討論，比較不同解法的優劣，最后總結出這一類題的做法。例如學生總結出第14 題為了求實數k的取值范圍，黑板上的眾多方法的本質是一樣的：它們均是在同一坐標系中畫出等號兩邊的函數圖象，然后通過數形結合求解，所以通過對解析式變形，等號兩邊的函數圖象越好畫，這種解法就越簡單。

整個“議”與“評”的過程，以學生為中心，充分調動學生群體的自組織屬性。學生上臺展示的過程，其實就是思維暴露的過程，請學生上臺板書，既聚焦了學生學習時碰到的難點與困惑，也聚焦了思維的矛盾。學生板書結束后，讓學生評價學生，即用學生間質疑問難代替教師的直接評判，充分尊重學生的想法，讓他們有自由思考的權利和空間，從而激發更多的思維潛能，有效凸顯了學生學習的主體地位。學生在交流中，懂得了“兼聽”，獲得一題多解；在質疑中，獲得了知識的強化，多解歸一；在主講中，投入了心智，鍛煉了膽識。

第四步：“輔”，即給予輔導補充，提升鞏固。課堂上我們可以根據學生的困難點，進行變式訓練，當堂測試掌握程度。對于“學困生”，可組織學生建立幫扶小組，在課后給予一定的輔導幫助。

自組織理論下的教學，是一種以學生為中心、回歸本位的教學。它遵循過程與結果并重的價值導向，摒棄簡單的告知，鼓勵學生探究，強調教師有價值的引領，達到深度學習的目的。但正所謂教學有法但無定法，我們不能僅停留于形式，還需將自組織理論與自己的課堂融為一體，適時調整，靈活選擇可行方法，讓素養在課堂上真正落地生根。