超線性勢下玻色-愛因斯坦凝聚的平均場近似
2020-08-25 07:51:26馮俊生
湖北文理學院學報 2020年8期
馮俊生，徐 可
(1.合肥師范學院 物理與材料工程學院，安徽 合肥 230601；2.湖北文理學院 物理與電子工程學院，湖北 襄陽 441053)
隨著玻色-愛因斯坦凝聚在實驗上的實現[1-3]，科學研究已經從早期的理論預言發展到了現在的實驗階段.激光冷卻技術的發展和冷原子實驗平臺的出現，使得實驗上容易調控冷原子系統所受的約束勢，為模擬各種外勢下玻色-愛因斯坦凝聚提供了可能.線性勢是一種形式較為簡單的外勢，且在冷原子平臺下容易實現[4-5].對于其玻色-愛因斯坦凝聚，目前并沒有科學研究涉及.并且現行的統計物理教科書也只討論了弱簡并條件下自由粒子發生玻色-愛因斯坦凝聚，其凝聚條件為nλ3≥2.612，其中n是粒子數密度，λ是德布羅意波長[6-7].為加深對玻色-愛因斯坦凝聚教學內容的理解，拓展統計系綜理論的應用，本文將主要討論超線性勢下的玻色-愛因斯坦凝聚.嚴格求解外勢下的玻色-愛因斯坦凝聚需要用數值重整化群方法，考慮到數值重整化群較難理解且本科生的數理基礎較為薄弱，因此本文擬采用平均場方法[6-8].理由是平均場近似的物理圖像清晰且數學處理相對簡單，在波動和關聯較小的情況下可以得到與數值重整化群方法定性一致的結論.因此，本文將從相空間態密度出發，研究s維超線性勢的態密度，發生玻色-愛因斯坦凝聚時對應的臨界溫度TC以及熱容CV.
1 超線性勢的態密度D(E)
考慮s維超線性勢下描述的玻色子，其單粒子哈密頓量H可以寫為
其中pi是粒子的動量，ki是線性勢的系數，xi是粒子的坐標，m是粒子的質量，s是空間維度.為簡化問題，采取平均場近似，從統計物理中的相空間態密度出發來討論玻色-愛因斯坦凝聚.
式中E>0，且0≤x1，x2，…≤E.相空間體積為(具體推導過程見附錄)
(1)
態密度D(E)為
(2)
圖1 態密度D(E)隨能量E的變化關系
2 超線性勢下凝聚溫度TC
在上節獲得了s維超線性勢的態密度解析表達式(2)，這一節將主要根據態密度D(E)的解析表達式，推導相應的凝聚溫度TC.對于3種不同的統計系綜分布，其統計分布函數可以統一寫成
(3)
其中，ε是粒子的能量，μ是化學勢，kB是玻爾茲曼常數，T是系統溫度.當系數δ取1，0和-1時，f(ε)分別對應于費米-狄拉克布、玻爾茲曼分布和玻色-愛因斯坦分布.
(4)
同理，系統能量E可以表達為
(5)
設開始凝聚對應的臨界溫度為TC，此時所對應的化學勢μ=0，則式(4)變為
(6)
其中ζ(x)是黎曼函數.根據式(6)，可以求得發生玻色-愛因斯坦凝聚的臨界溫度為
(7)
當s取1，2和3時，分別得到一維、二維和三維的凝聚溫度，即
凝聚溫度TC和粒子數N的關系如圖2所示.可以看出，對于稠密體系，低維體系的凝聚溫度隨粒子數增加而迅速增加，而高維體系變化緩慢.當溫度低于TC繼續下降時，停留在基態上的粒子數N0(T (8) 對于玻色-愛因斯坦凝聚而言，發生凝聚時開始發生相變.這類相變是典型的λ相變，屬于連續相變.λ相變伴隨著熱容CV的突變，即在凝聚相和非凝聚相有所不同.需要注意的是：在凝聚相時系統的化學勢μ=0，在非凝聚相時化學勢μ≠0.下面分兩個溫度區間討論相應的熱容. 根據式(5)，系統的能量E為 (9) 則能量對溫度的一階導數即為熱容 利用式(7)臨界溫度TC的表達式，則可以得到熱容CV的表達式 (10) 可以看出，在凝聚相的時候熱容隨溫度的增加而增加.同樣熱容CV與N0/N的關系為 (11) 隨著溫度的降低，粒子趨于有序，導致凝聚在基態的粒子數增加，從而熱容CV減小；在絕對零度時熱容CV為零，與理論預期一致. (12) (13) 根據表達式(4)，可知在化學勢μ不為零的情況下，出現了一個弱簡并相互作用，因此在臨界點TC附近有一個有限的引力.注意在上面處理過程中，采用了平均場近似[6-8]，忽略了化學勢隨溫度的變化.由于系統總粒子數不變，因此有 圖4 不同維度熱容隨溫度變化示意圖 根據凝聚相和非凝聚相對應的熱容式(10)和(13)，可以得到超線性勢的熱容CV隨溫度變化的關系，如圖4所示.可以看出，對于二維和三維體系，熱容隨著溫度的下降而下降，在臨界點處突然上升，表現出一個λ突變，對應的是λ相變.需要特別說明的是，對于一維情況，與重整化理論預期不符(一維不存在玻色愛因斯坦凝聚).這是因為通常情況下，平均場近似與數值重整化結論定性是一致，但對于某些特定情況會出現與精確解不相符的結論[8]. 本文通過平均場近似，將統計系綜理論應用到s維超線性勢玻色子系統，并研究了超線性勢下的玻色-愛因斯坦凝聚.對于二維和三維線性勢的情況，得到了與連續相變一致的結論，且維度越高，凝聚溫度越高.玻色-愛因斯坦凝聚是典型的連續相變，熱容在相變點出現一個λ突變.在課堂教學中將超線性勢引入玻色-愛因斯坦凝聚，不僅豐富了學生的統計物理知識，培養其探索意識，而且給學生提供了一個從書本知識到科學研究的范例.
3 超線性勢下的熱容量
3.1 低于臨界溫度(T
3.2 高于臨界溫度(T>TC，μ≠0)
4 結語
