施行以點帶面 彰顯核心素養
——《方程的根和函數的零點》教學設計

牟小蘭

（重慶市萬州第三中學 重慶萬州 404000）

一、教材分析

以人教版《普通高中課程標準實驗教科書》A版數學必修一為藍本，分析第三章《函數的應用第一節《函數與方程》的第一課時《方程的根與函數的零點》的教學內容。本節課主要內容是函數零點定義、函數零點與相應方程根的關系、函數零點存在性定理，是一節概念課。本節課不僅為二分法的學習做準備，也為方程與函數提供了連接點，從而揭示兩者之間的本質關系，這種聯系正是“函數與方程思想”的理論基礎，為今后進一步學習函數與不等式等其他知識聯系奠定了堅實的基礎，一步一步地形成學生的數學素養，為今后適應社會做準備。

二、學情分析

學生已經了解一些基本初等函數的模型，具備一定的看圖識圖能力，這位本節課利用函數的圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。但高一學生對數形結合與抽象思維尚不能完全駕馭。因此，函數與方程相聯系的觀點的建立，函數應用意識的初步樹立，是本節課必須承載的任務。

三、教學目標

知識與技能 理解函數零點的定義及方程的根與函數零點之間的聯系；理解函數零點存在性定理；能利用函數的圖象和性質判斷函數的零點個數及所在區間。

過程與方法 滲透由特殊到一般的認知規律，提升學生的抽象和概括能力，領會數形結合、函數與方程等數學思想。

情感、態度與價值觀 認識函數零點的價值，使學生認識到學有所用；培養學生認真、耐心、嚴謹的數學品質；讓學生在自我解決問題的過程中體驗成功的喜悅。

四、教學重難點

重點：理解函數零點的定義，體會方程的根與函數零點之間的聯系，掌握函數零點存在性的判斷。

難點：在合情推理中讓學生掌握體會判定定理，并能初步應用。

五、教學方法

自主學習，合作探究，講練結合

六、教學過程

（一）課題引入（2分鐘）

某網店經營的暖手袋原價x元，在某天推出五折優惠和免郵費的促銷活動，以提高本店的銷售額度。小李同學利用支付寶里的50元在促銷期間購買此暖手袋后余額為y元。

①請幫助小李同學建立以x為自變量，y為函數的關系式（暫不考慮定義域）。

②原價為多少元時余額為0？

以非常簡單網購話題出發，引起學生注意，探索數學問題，激發學習興趣。

（二）自主學習（12分鐘）

引例中方程x-50=0的實根50，就是函數y=x-50的零點，所以，我們由特殊到一般，得出函數零點的定義：

對于函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數叫做函數y=f(x)的零點。

理解定義，提出問題：方程的根與相應函數的零點之間有什么聯系？

為了更好理解定義，回答該問題，我們應像涓涓細流般慢慢地將知識浸潤于學生的心田，選用學生已知熟悉的知識來理解改知識和探究未知。

（三）組織探究（11分鐘）

結合函數y=x2-2x-3的圖象觀察發現：

①在區間[-2，1]上有零點：

f(-2)=5,f(1)=-4,f(-2)·f(1)＜0

②在區間[2，4]上呢？

運用特殊到一般的學習規律，得出函數零點的存在性定理。

（四）練習反饋（5分鐘）

①函數y=x2-3x+2的零點是（ ）

A.（1，0），（2，0） B.x=1 C.x=2 D.1，2

②函數f(x)=2x-3零點所在的一個區間是（ ）

A.（-1，1） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3）

以上練習是基礎性練習，意在檢驗學生掌握基礎知識的情況。先請學生作答，并請一位學生作為“小老師”為大家做簡單講解后，教師再稍作點評。

（五）協作交流（8分鐘）

為了進一步運用該知識解決函數的零點問題，我們一起來看看這道例題。

例：函數f(x)=1nx+2x-6有沒有零點？有幾個零點？

分析：

①利用函數零點的存在性定理，借助計算器或計算機作出x，f(x) 的對應值表和圖像。

②圖象法：函數y=f(x)圖象連續，f(a)·f(b)＜0，且f(x)為單調函數，則y=f(x)有且只有一個零點。

③數形結合法：函數f(x)=1nx+2x-6的零點問題，轉化為方程1nx+2x-6=0即1nx=6-2x的實根問題，有轉化為函數y=1nx和y=6-2x的交點個數問題。

（六）課堂小結（2分鐘）

①基礎知識：函數零點的定義；函數的零點存在性定理；確定函數零點的方法。

②思想方法：特殊到一般，數形結合，轉化與化歸，函數與方程

③責任擔當：面對困難，勇于探索，精準探究，實現夢想

（七）板書設計

（八）課后鞏固

①P88 練習1

②思考題：怎樣求出函數 的零點的近似值。

③閱讀P91《中外歷史上的方程求解》，了解方程的發展歷程。

（九）課后反思

本節內容以函數圖象為主要載體，通過本節課的學習研究，使學生從“數”“形”兩個層次理解函數零點的定義，突出“數形結合”的數學思想。在實施教學過程中指導學生學習方法，注重數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想的滲透，是學生對知識的掌握不僅僅停留在表面，還在更深層次的問題是思考，使數學核心素養的培養得到落實。

總之，我們要準確把握學生的認知規律，努力做到不斷完善每節課，思路流暢，層次分明，問題引領，關注思維，讓學生在學習中參與其中，不斷提高自身的數學素養。