關注概念的生長發展讓數學抽象落地生根

黃宜凱

摘 要：數學核心素養是新課程修訂工作的重大突破，促使數學教學體系和內容更加完善，除了培養能力、傳授知識、領悟思想外，還需要培養學生的核心素養。在六大數學學科核心素養中，數學抽象占據首位，而數學概念教學是培養學生抽象能力的關鍵。該如何有效地揭示概念的本質與外延，關注概念的生長發展，是當下數學教學活動的難點。現以人教版高中數學必修一“函數的概念”為例進行探索，分別從基礎準備、系統知識、反思感悟等方面，全面探討如何有效地培養學生的數學抽象思維能力，確保在教學活動中學生的核心素養能夠逐步養成。

關鍵詞：數學抽象；函數的概念；概念教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-12-18 文章編號：1674-120X（2020）13-0072-02

一、問題的提出

在高中數學教學活動中，教師對概念知識教學的認知存在較大的差異。大部分教師認為，概念知識教學比較簡單，即在課堂上直接引出概念內容，并告訴學生所需要注意的知識點。這種灌入式教學不僅忽視了概念的生長發展過程，還忽視了學生思維和知識的自我構建過程，因此不利于學生更好地領悟概念中的數學思想和本質，并讓學生對數學知識學習產生了抗拒心理。那么在這種背景下，該如何讓學生通過數學概念的學習，掌握其中的抽象思維，并形成數學抽象素養。從多年來的教學經驗來看，只有關注學生、關注數學抽象的發展規律、關注數學概念的落地生根、關注數學概念的發生發展，才能有效地幫助學生養成數學抽象素養。

二、課堂教學活動——以“函數的概念”為例

（一）復習回顧，導入新知

教師讓學生回顧初中階段“函數的概念”，接著以此為話題，讓學生談談自己對函數概念的理解，然后以實例的方式研究函數的概念。例1 ：一輛汽車以30m/s的速度在路上行駛，且加速度為10m/s，那么汽車速度與時間是怎樣的函數關系？問題一：用函數的概念解釋一下題目中的問題；問題二：用集合知識羅列速度和時間的變化過程；問題三：用集合知識描述速度和時間的關系；問題四：驗證集合A（時間）中任意一個數在集合B（速度）中有唯一確定的數與其對應。教師通過講解上述四個問題，讓學生按照此步驟和方法自主合作解答教材中的實例。

（二）討論思考，生成新知

通過例1和教材中的三個案例，找出這四個例子之間的共同點和不同點；接著運用集合知識和對應的語言自主定義函數的概念，此時教師對學生進行引導，根據前面問題的探索，學生很容易歸納出函數的概念；然后，用數學符號表述數學概念；最后，教師和學生共同生成函數的概念認識。設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A。我們把x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域；與x的值相對應的值叫作函數值，函數值的集合{ f（x）| x∈A }叫作函數的值域。

（三）比較反思，感悟抽象

問題：初中階段的函數概念與高中函數概念，有什么區別和聯系？讓學生以小組的形式進行分組討論。經過學生間的討論，學生很容易發現高中函數概念與初中函數概念之間的差異：初中函數比較簡單，高中函數具有三個要素、對應關系突出、定義實質一致。然后結合函數的發展史，讓學生感受函數的抽象性。

三、教學思考

（一）掌握數學抽象需要有基礎準備

數學是一門抽象性的學科，對學習者提出了更高的要求。如果在新課開始前直接導入新概念，那么學生不僅難以接受和理解新概念，更無法有效地運用數學概念，所以在新課開始前必須結合學生的認知水平和數學知識基礎做好充分的準備工作。在課堂上為學生創設有效的教學環境，激發學生的學習興趣，調動學生的思維，這樣不僅可以有效地消除學生的思維、知識障礙，還能消除學生的抗拒心理，從而為新概念學習作好充分的心理準備。在本次教學中，通過回顧初中階段“函數的概念”，為學生創設了熟悉的教學環境，并明確了新課的教學內容，實現了消除學生緊張情緒的目的。通過提前準備的教學例題，引出了速度和時間變量之間的關系，讓學生真實地感受了函數的例子，讓學生明白了新概念知識并非那么抽象；再通過三個問題的提出，加深學生對函數概念的理解，對學生的抽象思維發展具有促進作用。另外，還使整個課堂學習顯得比較輕松，課堂氛圍活躍，對后面的函數概念形成的教學奠定了基礎。

（二）掌握數學抽象需要有系統知識

數學抽象核心素養的培養，是一個緩慢的、漸進的、分層次的系統性工程，且以數學知識為載體。對數學概念學習而言，必須有系統的知識體系結構，從概念的出現到最后的形成，每一步發展軌跡都蘊含什么樣的數學抽象，只有掌握來龍去脈，摸清發展軌跡，把握發展節奏，同時了解數學概念新舊知識的內容和關系，以及認識到新概念知識的地位，從整體上把握知識體系和每個知識點的發展特點，這樣才能逐層、逐步地理解數學抽象的內涵，掌握數學抽象知識，更好地運用數學知識。簡約、符號、譜適是數學抽象的三個層次，這說明我們在數學抽象過程中，必須將紛繁復雜的數學問題簡化原始概念，最后使數學概念更更容易理解。概念的抽象過程，是為了更好地準確表達數學概念的本質，也是為了使概念的使用范圍更廣、適用性更強。

（三）掌握數學抽象需要有反思感悟

開展教學活動的目的主要是激發學生的學習興趣，調動學生的積極性和主動性，并構建自己的知識體系。學生在學習活動中不斷地進行反思和感悟，這樣才能有效地構建自己的思維體系。數學知識具有抽象性特征，而數學思維在數學抽象過程中占據重要地位，對抽象過程具有促進作用。所以數學思維與數學抽象之間具有密切的聯系，需要教師在教學活動中，為學生創設反思情境，引導學生對數學概念進行反復推敲，感悟數學抽象過程，提高對數學概念的理解，形成自己的數學抽象思維，并構建自己的思維體系。在本次教學中，教師通過對比初中階段的函數概念和今天所學的函數概念，讓學生思考新概念的形成過程，凸顯函數的核心屬性，揭示函數變量間的對應關系，感受數學抽象的過程，感悟數學抽象的普適性，最終形成數學抽象素養。

綜上所述，數學抽象是數學教學的重中之重，需要不斷地對數學研究對象進行觀察、比較、分析、概述，最終形成數學抽象結果。在數學抽象過程中，逐步凸顯數學本質屬性，提高數學研究對象的抽象程度。另外，在數學教學活動中，數學抽象還需要在其他知識體系中體現，如數學解題、數學推理、數學命題等。只有創設合理有效的環境，明確教學內容和教學方法，堅持以學生為中心，并及時有效地反思數學抽象，這樣才能實現數學抽象落地生根的目的。

參考文獻：

[1]潘慧敏.在概念教學中滲透對學生抽象思維的培養——以幾個典型概念教學為例[J].數學教學通訊，2019（25）：31-32.

[2]楚秉晶.基于數學抽象能力培養的數學概念教學初探——以浙教版八年級下冊“6.1反比例函數”教學為例[J].中學數學，2017（12）：12-15.