把握拓展技巧 促進思維發展
——例談小學數學拓展課的設計與實施

江蘇無錫市塔影中心小學 周孝麗

數學拓展課是基于課程標準、教材和學情，引領學生在動手體驗、實踐操作、研究思考、深度理解的基礎上，不斷增強數學學習興趣，積累數學活動經驗，感悟數學思想方法，提升學科核心素養的一種教學形式。它可以是對教材中某一概念進行追根溯源的探究；可以是對某一重點、難點知識的深入發掘與開發；可以是對某一數學思想與方法的滲透、提煉與創新應用；還可以是與其他學科領域的整合與拓展，等等。相對于數學基礎課程，數學拓展課在內容選取上有更大的靈活性、開放性與挑戰性，因此更有利于培養學生的數學能力，激發學生的數學思維。

數學拓展課不是面向部分優秀學生的“小灶”，而是面向全體學生的“大眾餐”。因此，在拓展課的設計與實施過程中，教師應該充分研究學情，研究課標，研究教材，精心設計拓展內容，巧妙策劃拓展方式，積極導引全體學生投入學習、探究與發現，讓探究課發揮其應有價值。三年級在學生認識了正方形面積后，為了進一步培養學生的探究能力，訓練高階思維，增強學習興趣，筆者設計了“正方形的秘密”拓展課，收效顯著。

一、立足現實生活，讓拓展內容有“根”

1.從生活中“挖數學”

根據小學生的認知特點，小學數學教學應將數學知識與學生的生活實際緊密結合，從生活問題入手，使學生學起來自然親切、真實形象，進而激發濃厚的學習興趣，培養能力、發展智力，促進其綜合素質的提升。因此，作為教師要善于把課堂教學內容與生活中的數學現象結合起來，發掘數學知識與生活的緊密聯系。

（1）從熟悉的情境引出新知

把生活中的實際活動融入教學，會讓學生有一種親近感，學生在這種熟悉的情境中去嘗試解決問題，同時也能快速走近教學內容。

師：（播放視頻）這是《最強大腦》中一次魔方比賽的規則。同學們都玩過魔方嗎？我們學校每年的藝術節也都有魔方達人的比賽。

師：剛剛視頻中兩次說到“三階復原”，你知道“三階”是什么意思嗎？

生：魔方每個面都有3×3個正方形。

師：板書圖形。

師：如果是一個2階魔方，那它每個面又是怎樣的？（板書圖形）

師：不管是2階還是3階魔方，它們每個面都是用這樣的小正方形拼成的。（板書圖形）

師：要知道這兩張圖中分別有幾個小正方形，你可以怎樣算。（板書：？×？）

從一段視頻展開教學，學生的學習興趣一下就被調動了起來，然后教師將教學焦點聚集在視頻中出現的魔方上，又緊緊聯系學生熟悉的比賽，引導學生觀察魔方每個面上小正方形的排列規律，從而為后面出示的數列埋下伏筆。

（2）從生活中找到數學原型

數學新課標指出：數學教學要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境。小學生的智力還處于發展階段，思維方式比較單一，生動有趣的問題情境不僅能激發學生的學習興趣，還有利于滲透數學思想，培養學生的思維能力。

師：這條弧線就是斐波那契螺旋線，這樣的圖案在我們身邊隨處可見，如生存億萬年的鸚鵡螺，盛開的向日葵，人的耳朵。

師：這條曲線還受到一些設計大師的青睞，如蘋果公司的logo，設計師在每個正方形內添加圓，形成斐波那契直徑圓，并以此創新設計出了這個logo。

師：這種曲線最大的特點就是它的完美，所有的比例都顯得恰到好處，讓人看了身心舒暢。

欣賞生活中隨處都有的這一條曲線，學生恍然大悟，原來數學跟生活竟然有這么多的聯系，激發了學生發現數學美的熱情。

2.在生活中“用數學”

學以致用，充分體現了學與用之間的關系。教師不僅要讓學生學數學，還要讓學生學會用數學，這就要求教師要注重培養學生的應用意識與應用能力。在教學中，鼓勵學生把所學的新知識運用到現實生活中去，可以培養學生解決實際問題的能力，增強學生對數學價值的認識，激發學生學習數學的熱情。

師：五一假期，周老師的閨蜜送了我一塊桌布，我打開一看傻眼了，你們猜猜看，這是為什么？

生1：大小不一樣。

生2：形狀不同。

師：同學們觀察得真仔細，猜得真準，厲害！（電腦出示：餐桌形狀和餐布形狀）

師：閨蜜的心意不能辜負，在不浪費這塊桌布的前提下，你們能幫老師解決這個問題嗎？

學生小組合作，討論解決方法（如圖所示）：

師：同學們剛剛通過畫圖想到了不同的解決方法，不同的拼接還形成了不同的優美圖案，真是棒極了！不管是哪一種拼接，其實你們都是巧妙地利用了正方形的對角線，在不改變面積的前提下，把長方形轉化成了正方形。

巧妙利用正方形的對角線，不僅可以解決數學問題，還能解決一些生活問題。在學生將數學應用于實踐的過程中，創新意識和創造能力得到了進一步培養，學生看到自己的想法和作品得到肯定，那是一種滿足和榮耀。更為重要的是，在用數學的過程中，學生對數學的深刻理解與全面認識又上升到了一個新的層次。

二、關注兒童經驗，讓拓展內容有“魂”

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“教師教學應該以學生的已有經驗水平和已有的經驗為基礎。”教師要依據新課標深入地研究教材的知識結構，結合學生的認知規律和現有的知識水平活化教材，使學生的知識和能力得到提升。關注學生的經驗，適時提供獲取經驗的機會，拓寬獲取經驗的渠道，更好地發揮已有經驗在學習活動中的積極作用，并能利用經驗促進思維，使學生獲得更多的經驗。在關注學生經驗的基礎上，精心設計拓展內容，使其在拓展活動中得到新的發展與超越。

1.方法多樣化——激活經驗

師：要求正方形的面積，需要知道什么條件？

生1：要知道正方形的邊長。

生2：正方形的面積=邊長×邊長。

師：如果現在在正方形里面畫一條對角線，猜猜看正方形的面積跟它會有關系嗎？

生討論交流，匯報展示。

生1：我用了畫圖的方法。

生2：通過畫圖我發現正方形的面積=對角線×對角線÷2。

為了引導學生運用已有的知識去探索新知，教師可以讓學生明確新舊知識之間存在的聯系，并鼓勵學生用畫圖的方法把新舊聯系建立起來，從而得出正方形面積的不同解法。

2.巧用畫圖——優化經驗

師：求正方形個數，除了用乘法表示，還能不能給它們涂涂色找到不同的表示方法？同學們試著找一找。

展示學生的研究材料。

師：像這樣進行涂色，同學們就能找到不同的方法。

對于求正方形個數的問題，不同的學生有不同的學習經驗和方法，在教學中讓學生充分交流，并將計算方法逐步進行優化，從而促進學生數學活動經驗的有效積累。相同的圖形通過不同的涂色，居然還有不同的意思，這些數學學習技能都是建立在學生已有經驗基礎之上的，教師在教學過程中適當點撥，使學生拓寬了思路，積累了經驗。

三、滲透思想方法，讓拓展過程傳“神”

小學生的身心特點決定了他們的學習特點，數形的結合正是幫助學生順利完成從形象思維向抽象思維過渡的最好媒介。借助形的表象來理解數的抽象，利用數的抽象來提升形的內在邏輯，通過形與形之間的聯系深入研究其特征規律，這也正是數學學習的本質。因此，教師要有意識地讓學生學會畫圖，這不但體現數形結合思想，而且通過讓學生嘗試畫圖的過程，還能讓數學變得生動、活潑和豐滿，訓練學生的思維，收到意想不到的教學效果。

1.數形結合巧滲透

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題策略的目的。

出示一組數列：1、1、2、3、5、8、13……

師：同學們，這組數列有規律嗎？

生：1+1=2，1+2=3，2+3=5……

師：那這一組數列會跟正方形有關嗎？

學生感到疑惑。

師：大家想一想，出示1、1、2、3，你發現了什么？把你們的發現在方格紙上畫出來。

師：誰來說說為什么這樣畫？

生：這一組數列中的每一個數都是所畫正方形的邊長。

師：這一組熟悉的數列竟然跟正方形的邊長有關，小小正方形還真是了不起啊！

對于抽象的數學概念，教師可以借助圖形使之形象化、直觀化，把抽象的數學語言轉化為直觀的圖形，以便學生對其進行分析和理解，這樣的教學手段可以稱之為“以形助數”。在這里通過畫圖把數列和圖形之間的關系一下建立了起來，學生茅塞頓開，讓數學學習變得更簡單，同時對正方形的認識更深入。

2.形形結合妙關聯

在解決問題時，根據需要我們還可以引導學生從一個圖形想到另一個圖形，從一個圖形創設出另一個圖形。

師：在正方形里面畫一條對角線，你覺得正方形的面積跟它有關系嗎？你能用畫圖的方法來說明你的猜想嗎？

生1：我以正方形里面的這條對角線為邊長，繼續構造出一個正方形（如下圖）。

生2：從圖中可以很清楚地看出，現在構造的大正方形的面積是小正方形面積的兩倍。

生3：根據正方形的面積=邊長×邊長，可以求出大正方形的面積=對角線×對角線，所以小正方形的面積只要再除以2就可以求出。

數學思想方法只有在反復運用中才能體現它的價值。從已知圖形特征出發，學生通過剪拼、平移、旋轉等數學方法，重新構造新的圖形解決了原本不能解決的問題，實現了知識與知識、圖形與圖形之間的轉化，提升了分析問題、解決問題的能力，同時也培養了學生思維的辨析能力和遷移能力。

四、發掘數學文化，讓拓展課堂入“心”

結合教學內容，巧妙滲透相關的數學文化，不僅能夠彰顯數學文化的價值，還能充分發揮數學的育人力量。在教學“正方形的秘密”這一課時，教師除了教授了相關的正方形知識，還引入了兩種數學思維方法，讓學生感受了數學知識之神奇，激發了他們參與學習的積極性，讓拓展課堂真正入心、入腦，讓學生真正感受到了數學文化的永恒魅力。

1.“兔子數列”——感受數列之美妙

1、1、2、3、5、8、13……這一組數列，是有名的斐波那契數列，它是意大利數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例而引入的，故又稱為“兔子數列”。

2.“完美正方形”——感受圖形分割之神奇

數學家們一直在思考，能不能把一個大正方形分割成若干個不同的小正方形。如果存在這樣的大正方形，那么這個大正方形就叫作完美正方形。在很長一段時間里，人們一直沒有找到。直到1978年，荷蘭數學家杜伊維斯廷借助計算機技術，成功地構造出邊長是112的一個21階的完美正方形，同時還證明了這是一個階數最低的完美正方形。

結合教學內容，教師有目的地發掘與教學內容相關聯的拓展知識來豐富課堂教學，切實改善了學生的數學學習境遇，同時也有效提升了學生的數學核心素養，為學生創造了一次挑戰智慧的機會，也讓學生真實地體會到知識發展過程中充滿的創新精神和理性光輝。