基于小學數(shù)學猜想和證明的反例研究

■山東省臨沂市莒南縣第二小學 董文敏

一、背景

猜想和證明是數(shù)學的核心，應成為小學學生數(shù)學經驗的核心要素之一。在猜想和證明定理的過程中，數(shù)學家從事各種活動，這些活動在定理和證明的最終形式中沒有明確描述。尤其是，數(shù)學家必須不斷地測試其數(shù)學論證的邏輯鏈的正確性和連貫性，例如通過搜索反例。實際上，Lakatos 指出“非正式的，準經驗的數(shù)學不是通過不可否認的定理數(shù)目的單調增加，而是通過猜測和批評，通過證明和反駁的邏輯不斷地改善猜測”，提出反例的反駁在數(shù)學中也經常起重要作用。為了概念化學校數(shù)學中的證明概念，Stylianides提出了“知識-誠實原則”，其中“規(guī)定學校數(shù)學中的證明概念應被概念化，以便對數(shù)學作為一門學科誠實并同時尊重學生作為數(shù)學學習者”。根據(jù)對證明的概念化，他進一步分析了一個課堂情節(jié)，三年級學生試圖證明兩個奇數(shù)之和是偶數(shù)。正如他提到的那樣，“誠實守信”原則可以在概念化學校數(shù)學中的其他概念時使用，也可以更廣泛地使用它，該原理不論是對學校數(shù)學中的證明還是對所有數(shù)學都非常有用。這項研究的目的是考驗數(shù)學教師和教育者如何在小學階段實現(xiàn)數(shù)學學習，而這在數(shù)學上是誠實的，并帶有證明和反駁。本文的重點是小學生是否有可能體驗真正的數(shù)學活動，特別是證明和反駁，作者將描述和分析兩個5年級兒童在提出反例時的反應，這是一種基本方法，在他們的問題解決過程中提出了反駁。

二、小學數(shù)學思想

（一）研究對象

本文的主要重點是學生的數(shù)學活動，以及在小學數(shù)學中的反例。作者對一對在日本公立小學就讀的五年級生Daiki和Takuya（化名）進行了采訪。訪談是在日本進行的一項較大研究的組成部分之一，作者一直在探索如何促進學生在數(shù)學探究中使用動作證明。選擇Daiki和Takuya參加訪談的主要原因是，據(jù)他們在另一所公立小學當教師的父母說，作者之間的關系十分融洽并可以清楚地表達彼此的想法。父母期望學校提供豐富的話語數(shù)據(jù)來分析孩子的思維，而作者和孩子在面試前的簡短交談證實了這一點。根據(jù)他們的成績單和父母的評論，他們的數(shù)學能力可以被判斷為Daiki（優(yōu)秀）和Takuya（平均），但是他們的能力并不是選擇他們作為參與者的重要因素。

（二）研究方法

訪談中的任務與“兩位整數(shù)和其位數(shù)與原始整數(shù)的順序相反的整數(shù)之和”有關，例如32+23=55（以下簡稱“兩位整數(shù)之和”）。日本學生通常會在八年級時遇到此任務，他們希望通過代數(shù)論證證明兩個整數(shù)的和是11的倍數(shù)。但是，我決定在本次采訪中使用此任務，因為大多數(shù)小學生傾向于猜測更原始的語句，例如“當兩個整數(shù)的和仍然是兩位數(shù)字時，和的十位數(shù)和一位數(shù)相等”（例如，32+23=55，5=5）; 這種趨勢將使作者更容易提出反例（例如85+58）并觀察學生的反應。面對反例之后，學生還可以體驗將他們的原始猜想改進為更全面的猜想，即兩個整數(shù)的和是11的倍數(shù)。采訪大約花了50分鐘，是半結構化的：首先，作者將任務提交給Daiki 和Takuya，然后他們做出了上述原始猜想并試圖證明這一點，然后反例“85+58？”被提出來使他們改變了他們的第一個猜想。為了在猜想和證明之后提出反例，作者故意顯示了只有兩個整數(shù)的和在早期階段仍保持兩位數(shù)的情況（52+25、26+62和31+13）。

如上所述，這項研究是作者對動作證明的研究的一部分，因此要求Daiki和Takuya利用操縱對象證明其猜想。采訪準備了兩種類型的操縱對象：一個是日本的100 日元，10 日元和1 日元硬幣，另一個是黃色，綠色和紅色柜臺。在采訪中，Daiki 和Takuya能夠選擇他們想要使用的操縱對象。在采訪中，Dai?ki 和Takuya 可以使用工作表，操作對象以及一支鉛筆，并且他們被要求對操作對象進行檢查，但不是單獨而是協(xié)作進行，因為希望他們在這種情況下更自然地表達自己的思想。環(huán)境及其表達方式似乎有助于分析其思想。采訪被記錄并抄錄；還使用攝像機記錄了他們與操縱對象的數(shù)學活動，交流和“動作”。通過視頻記錄和他們在工作表上寫的內容分析成績單，重點是他們證明自己的原始猜想，面對反例，然后重新檢查該猜想和證明的過程。

三、研究結果

（一）證明原始猜想

Daiki 和 Takuya 計算出了 52+25=77、26+62=88和31+13=44，并對計算結果感到驚訝。然后，他們做出了各種推測，其中，他們試圖通過使用以下計數(shù)器來證明“兩個整數(shù)之和的十位數(shù)和一位數(shù)相等”。

首先，他們認為綠色柜臺和紅色柜臺分別為10和1。Daiki 和Takuya 然后選擇了71+17 作為兩個整數(shù)和的示例，并將其表示為圖1的狀態(tài)1。注意到他們的小錯誤后，他們移走了兩個綠色柜臺。然后，他們將71 的七個綠色計數(shù)器移動到17 的七個紅色計數(shù)器的一側（狀態(tài)2）。接下來，他們將17 的綠色計數(shù)器和71 的紅色計數(shù)器（狀態(tài)3）拿走，并將它們放在七個綠色和紅色計數(shù)器上方（狀態(tài)4）。然后，他們確認柜臺的布置代表88，如下圖所示：

圖1 在71+17中重新安排的過程

（二）面對反例修改猜想證明

在標記了數(shù)字A 和B 之后，Daiki 提到了兩個事實。A 的十位數(shù)和B 的十位數(shù)相同；B 的十位數(shù)和A的十位數(shù)也相同。然后，他說由于每個和的十位數(shù)和個位數(shù)相等（在71+17、70+7=77 和7=7；1+10=11和1=1的情況下），因此十位數(shù)和個位數(shù)兩個和的和的位數(shù)也相等（77+11=88和8=8）。他們確認可以將相同的想法應用于85+58，如下圖所示：

圖2 在85+58中重新安排的過程

四、結語

這項研究表明，只要安排了適當?shù)沫h(huán)境（在這項研究中，與兩個整數(shù)的和和動作證明有關的任務），即使在小學階段，也有可能獲得這種數(shù)學學習，并且接受反例為了體驗真正的數(shù)學過程，承認猜想的虛假性以及更深入地分析猜想和證明很重要。因此，對于不僅在小學而且在所有年級的教學都具有意義，教師應準備適當?shù)膶W習環(huán)境，并在面對反例時向學生提出以下問題：例如，“您的猜想為什么會變成假？”“在反例的情況下，您的證據(jù)中有哪些部分會分解？”“在反例的情況下，您的證明的哪一部分可以適用”和“您是否可以利用這一部分來發(fā)明一個新的猜想？”。