淺談微課的線性代數(shù)教學設計
——以向量組的秩為例

凌征球 覃思乾

0 引言

玉林師范學院是一所升本的地方應用型高校，有近2 萬人的在校生和10 大學科門類，目前在全校的理工類專業(yè)中都開設有線性代數(shù)課程，每年選課學生在2000 人上下[1]。由于課程概念的嚴密邏輯性與理論性、計算的繁雜與難度較大等原因，造成學生的學習出現(xiàn)不少的困惑使得總體的教學效果并不樂觀。多年來，為了改變這種狀況與提高教學效果，不少專業(yè)教師嘗試著多種不同的教學方法。

與此同時，隨著計算機網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，特別是2020 年春季的新冠肺炎疫情的爆發(fā)使得QQ 直播、MOOC 課堂，微課等多種線上學習方式得到了很大的推進，知識的學習與取得受到時間與空間限制的途徑已大為改觀。

本文將針對玉林師范學院的具體情況，在線性代數(shù)教學中如何嵌入微課的線上學習方式進行教學設計展開探討。首先給出目前線性代數(shù)課程教學的現(xiàn)狀分析。

1 線性代數(shù)教學現(xiàn)狀

1.1 教學手段與方法依然單一

因為專業(yè)的基礎要求，線性代數(shù)一般安排在大學一年級授課。此外教師基本采取“黑板+PPT+講授”的教學模式，同時在教學過程中強調課程內容的邏輯性與嚴密性，教師講得多而學生做得少。久而久之，導致的結果就是學生的被動學習，造成一些重點與難點內容不能完全理解而無法掌握。

1.2 課程內容多課時少

在一般情況下，線性代數(shù)課程包含行列式、線性方程組、矩陣與二次型等基本內容，但課程只有32 課時。直接的結果就是教師應在黑板上板書的過程只使用PPT一閃而過，使得學生對知識內容的理解如概念定理一知半解，而計算題往往只到模仿的程度卻對所得結果的得來緣由不太明白。

1.3 教材不符合學生的實際水平

玉林師范學院屬于地方二本院校，學生每年錄用分數(shù)基本上處于420-440 分之間，由此便可以看出學生的總體水平特別是數(shù)學基礎不是很好。而使用的教材偏重理論而且課程內容缺乏漸續(xù)推進由淺到深的整個過程，此外課本例題與習題的計算基本上都涉及分數(shù)的通分計算，而這些正是學生本身的不足，導致了部分學生逐漸失去了對線性代數(shù)的學習興趣。

正是因為有上述主要原因的存在，學校的線性代數(shù)課程教學與教學效果不理想。如何探討與改善該門課程的教學手段與方式努力提高教學質量，成為在職數(shù)學教師一個迫切需要解決的首要任務。

伴隨著半導體芯片技術的發(fā)展成長的智能手機的應用已經(jīng)越來越廣泛，直接導致了“互聯(lián)網(wǎng)+ 課程”的推進，特別是2020 年春季新冠疫情的爆發(fā)使得線上教學與學習得到了充足的應用環(huán)境，知識的獲取受到時間與空間的限制影響大為降低。目前，“微課”以其“精、小、短”的特色在大中小學的教學過程中的應用得到社會的肯定[2-3]。一般認為，微課具有以下特色。

2 微課的特色

微課就是微型教學視頻為載體，針對學科的一個知識點的在線網(wǎng)絡視頻課程[4]。其具有如下的主要特色：

（1）內容精選有針對性

通常情況下，微課都是針對學科知識的重點或難點展開的。對線性代數(shù)的課程來說，微課則集焦于基本概念、定理的講述或者計算方法的過程介紹。學生可以反復觀看學習，逐個掌握與理解知識點，提高學習效率。

（2）時間短利于靈活學習

一個微課的時間通常介于10- 15 分鐘，時間短容量小，方便學生隨時在碎片式的時間使用，增加他們自主學習的能力與學習興趣。

（3）使用設備與平臺有多種選

微課可以在臺式與筆記本電腦、智能手機、平板等多種設備上使用，也可以采用QQ、微信、MOOC、釘釘?shù)绕脚_上播放。

3 微課的線性代數(shù)教學設計例

針對線性代數(shù)中向量組秩的概念，我們給出了微課的教學設計過程與方法。

（1）設計理念

向量組的秩屬于線性代數(shù)的一個難點內容，涉及線性相關與線性無關、向量的線性表示與極大線性無關組，后續(xù)可推廣到矩陣的秩與向量空間的維數(shù)等概念。因此，理解與掌握的程度直接影響著后面知識的學習。我們設計的理念與思路是：引例的講解與總結；引入秩的概念；引申思考。

（2）教學過程設計

首先是引例的講解：假設有如下的一組向量

要求從這組向量中找出線性無關的一部分，試問：最多能夠找出多少個向量？

第1 步：先找一個非零向量，因為單獨非零向量屬于線性無關。依此我們可以從a1，a2，a3，a4，a5中任取一個作為第1 步的選擇。不妨取向量a1。

第2 步：由于不成比例的兩個向量是線性無關的。因此，我們從剩下的5 個向量中再取一個跟a1不成比例的向量，如此可選取a2，a3，a4之中的一個。不妨取向量a2。

由上兩步，我們取出部分的向量a1，a2是線性無關的。

第3 步：從剩下的4 個向量中任取一個加到a1，a2中，還有線性無關的嗎？此時有4 組情況，分別是：a1，a2，a3；a1，a2，a4；a1，a2，a5；a1，a2，a6

由于這4 組向量組成的行列式

因此，它們都是線性相關的。由此得到問題的結論：“在這個向量組中，線性無關的向量最多是2 個向量。”

自然就有個問題：是否存在其他的答案。

為此，我們重復第1 步取向量a2；重復第2 步選向量a3；然后重復第3 步就有下列4 個向量組：

經(jīng)過計算這4 個向量組構成的行列式，知道這些向量組都是線性相關的。

由此確定上述得到問題的答案是正確的。

引例的總結：

①得到的向量a1，a2或者a2，a3稱為向量組a1，a2，a3，a4，a5，a6的一個極大線性無關組

②極大線性無關組可能不唯一，但所含向量的個數(shù)相同。

③這個相同的個數(shù)，稱為向量組的秩。

其次是引入相關概念：

如果向量組ai1，…，ais是向量組a1，a2，…，ar的一部分，并且滿足下列條件：

①ai1，…，ais是線性無關的；

②從a1，a2，…，ar去除ai1，…，ais后任取一個向量添加到向量組ai1，…，ais后都線性相關。那么ai1，…，ais就稱為a1，a2，…，ar的一個極大線性無關組。

極大線性無關組所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩。

最后是引申思考：

由a1，a2線性無關而a1，a2，a3線性相關知道，向量a3可以用向量組a1，a2線性表示。得到：

不是極大線性無關組的向量，都可以用極大線性無關組線性表示，而且表示是唯一的。

4 結語

將微課應用于線性代數(shù)的教學，切忌不是完全使用微課取代課堂教學，而只是作為一種補充手段。把課程學習的每一個關鍵知識點制作成微課，可以方便學生隨時學習，達到提高教學質量與效率的目的。