關于伯努利多項式和Dirichlet L-函數的均值問題

張藝雪

（西北大學數學學院， 陜西西安710127）

0 引 言

q＞ 1 是一個整數，s=σ+it是一個復數，χ表示任意模q的Dirichlet 特征。著名的DirichletL-函數L(s，χ)由級數形式定義:

事實上，對于模q的主特征χ0，L(s，χ0)除了s=1 時留數為的簡單極點之外都是處處解析的，其中φ(q)為歐拉函數。如果χ≠χ0，那么L(s，χ)是一個關于s的整函數。

L(s，χ)函數在解析數論中具有重要地位，許多問題都與其密切相關。例如，哥德巴赫猜想、素數的分布、Dirichlet 除數問題以及其他著名的數論問題。所以，該領域的任何實質性研究進展都將促進數論的進一步發展。正因如此，學者們展開了對L(s，χ)性質的研究，并獲得了一系列有趣的結果[1-11]。例如， WALUM[1]證明了等式：

ZHANG[2-3]研究發現，對于任意奇數q≥ 3，有等式

同時， DirichletL-函數與廣義伯努利多項式Bn，χ密切相關。事實上，對任意q＞ 1 的整數，χ是模q的 Dirichlet 特征，可得[12-15]

若取x=0，那么Bn(0) =Bn為伯努利數。它們與Riemann zeta-函數ζ(s)密切相關。

最近，BAYAD 等[14]研究了L-函數與伯努利多項式乘積的均方值，并證明了一系列有趣的等式。

受文獻[14]啟發，本文將考慮涉及伯努利多項式的卷積和的計算問題：

關于此類型和的研究有很多，如斐波那契數列、加泰羅尼亞數、勒讓德多項式、切比雪夫多項式、Fubini 多項式、歐拉數和歐拉多項式等[16-24]，但尚未見到有關伯努利多項式的研究結果。

本文用初等方法研究式(4)的計算問題，并在k=3 時給出一個新的有趣的恒等式。在應用方面，給出一系列包含伯努利數的等式。經推廣，獲得了2 個與DirichletL-函數相關的簡單結果。

方便起見，首先介紹經典高斯和的定義。

假設q和m是整數，且q＞ 1。對于任意模q的特征χ，定義[1]

其中，e(y) =ey，如果χ是模q的原特征或(m，q)=1，那么有

稱G(χ，1) =τ(χ)為經典高斯和。

關于經典高斯和的性質，可參考文獻[1-3，12-13]。

1 定理及推論

定理1設p為奇素數，對任意非負整數m和n，有等式

定理2對任意整數n≥0，有等式

取m=n=0，由及定理 1，可以推得文獻[1]中的公式。

取m=1，n=0，由定理1及B3(x)=x3-可得到

推論1設p為奇素數，有

取x=0 和對于任意正整數n，有

且

由定理2 還可得到以下5 個推論。

推論2對任意整數n≥0，有

推論3對任意整數n≥2，有

推論4對任意整數n≥1，有

推論5對任意整數n≥2，有

推論6對任意整數n≥1，有

作為推廣，本文還獲得了與DirichletL-函數相關的2 個簡單結果：

定理 3假設q和n是正整數，q＞ 1，n≥ 3，χ為模q的任意偶的原特征，那么有恒等式

定理 4假設q和n是正整數，q＞ 1，n≥ 0，χ是任意模q的奇的原特征，那么有恒等式

定理3 和定理4 的結果并不完美，它們只是一次嘗試。事實上，如果可以將這2 個定理的右邊表示為一些特殊的L-函數，那么這2 個定理會更加完美，但需做進一步簡化。

2 引 理

為證明本文的定理，需要以下3 個簡單的引理。

引理1令則有等式

其中f'(t)表示f(t)關于t求導。

證明由f(t) 關于t求導的定義可得

結合式(5)、式(6)以及f(t)的定義，可得等式

引理1 得證。

引 理 2設q＞1為正整數，χ為任意模q的 原特征。若χ為偶特征，即χ(-1) =1，那么有

若χ為奇特征，即χ(-1) =-1，那么有

其中τ(χ)為經典高斯和。

證明由伯努利多項式的生成函數(3)可得

如果χ為模q的原特征，且是偶特征，即χ(-1) =1，則有

對任意整數n，如果n=1且0＜x＜1，或者n≥2，0≤x≤1，那么由文獻[1]定理 12.19，可得

由式(9)以及經典高斯和的定義和性質得

由式(10)以及經典高斯和的定義和性質得

若χ是模q的原特征，且是奇特征，即χ(-1) =-1，由式(11)和式(12)的證明方法，可得

如果χ為原特征且是偶特征，那么由式(7)、式(8)、式(11)和式(12)，有

如果χ為模q的原特征且是奇特征，那么由式(7)、式(8)、式(13)和式(14)以及等(15)的證明方法，有

由式(15)和式(16)，便可得到引理2。

引理2 得證。

引理 3設q為正整數且q＞ 1，χ為模q的任意本原特征，那么有等式：

3 定理的證明

先證定理1。對于任意整數n≥0，如果χ是模p的偶特征，那么有

由模p的正交性特征，有

由式(14)、式(22)及式(23)，可得恒等式

定理1 證畢。

由式(3)和引理1，通過比較冪級數系數，可推得定理2。

下證定理3。如果χ為模q的偶特征，那么由引理 2、式(17)～式(21)，通過比較引理 1 中冪級數的系數，有

定理3 證畢。

再證定理4。如果χ為模q的奇特征，那么由引理 2、式(17)～式(21)，通過比較引理 1 中冪級數的系數，可得

定理4 證畢。

4 結 論

本文的主要結果是4 個定理。定理1 得到一個新的關于素數模p的DirichletL-函數的平方均值公式 ，當m=0，n=1 或m=1，n=0 時 為 DirichletL-函數的一個非常有趣且美觀的平方均值公式。定理2 證明了一個包含伯努利多項式的新等式，特別是推論3 和推論5，十分簡潔美觀，是有關伯努利數或黎曼ζ 函數的新結果。定理3 和定理4 給出了DirichletL-函數卷積和的2 種新表達式，揭示了L-函數之間的關系。但此2 定理看起來并不簡單美觀，需要進一步簡化和改進，如果可以將這些定理中公式的右側表示為一些特殊的L-函數，定理3 和定理4 就會更加完美。