三等分任意角的作法探討

◎蔡長(zhǎng)青 （咸豐縣中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，湖北 咸豐 445600）

1979 年的九月，進(jìn)入咸豐一中學(xué)習(xí)的第一堂數(shù)學(xué)課上，滿頭銀發(fā)的數(shù)學(xué)老師文淵不但滿懷激情地介紹了高中三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)和學(xué)習(xí)方法，還向大家拋出了古代數(shù)學(xué)的三大難題，即用尺規(guī)作圖法求作三等分任意角、化圓為方以及倍立方問(wèn)題，從此筆者與三等分角問(wèn)題結(jié)下了不解之緣．

三等分角是號(hào)稱古希臘三大幾何問(wèn)題之一，該問(wèn)題的完整敘述為：只用圓規(guī)及一把沒(méi)有刻度的直尺將一個(gè)給定角三等分．該問(wèn)題自公元前480 年以來(lái)，不少學(xué)者進(jìn)行了長(zhǎng)期的探索，甚至不少著名數(shù)學(xué)家從不同角度論證了用尺規(guī)作圖法不可能解決“三等分角”問(wèn)題，本著吸取前人數(shù)學(xué)智慧、傳承文明、尊重科學(xué)的治學(xué)態(tài)度，本人就解決使用“尺規(guī)作圖法”三等分任意角問(wèn)題進(jìn)行了長(zhǎng)期的探索，現(xiàn)將偶有所得分享給大家，希望起到拋磚引玉的作用．

一、關(guān)于三等分任意角的歷史溯源

1．三等分任意角問(wèn)題產(chǎn)生的歷史背景

根據(jù)歷史記載，公元前480 年，古希臘和當(dāng)時(shí)的波斯國(guó)在當(dāng)時(shí)的雅典郊外薩尼克灣展開(kāi)了一場(chǎng)慘烈的海戰(zhàn)，古希臘大獲全勝，從此雅典作為古希臘的政治、文化、經(jīng)濟(jì)中心逐漸走向繁榮．社會(huì)分工逐漸細(xì)化，一部分人從繁重的體力勞動(dòng)中解放出來(lái)，出現(xiàn)了專門傳授學(xué)問(wèn)、研究學(xué)問(wèn)的辯論師或稱智者，也就是現(xiàn)代的職業(yè)教師．這些人為古希臘文明做出了巨大的貢獻(xiàn)，其中在幾何學(xué)上亦留下了三大難題供后人進(jìn)行研究和探討：

給你一把圓規(guī)和直尺（無(wú)刻度），經(jīng)過(guò)有限次的步驟，能否：

①對(duì)任意角作三等分？

②作已知立方體的二倍體積的立方體圖形？

③作與已給的圓面積相等的正方形？

以上三個(gè)問(wèn)題分別稱為三等分角問(wèn)題、倍立方問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題，也稱古希臘三大幾何難題，這些問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是，2400 多年來(lái)，不少數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛(ài)好者為了解決這三個(gè)問(wèn)題，耗費(fèi)了許多心血，都沒(méi)有取得成功．

2．三等分任意角可能無(wú)法用“尺規(guī)作圖法”求解

1637 年笛卡兒（Rene Descartes，1596—1650）創(chuàng)立了解析幾何學(xué)后，有數(shù)學(xué)家依據(jù)解析幾何，認(rèn)為找到了通過(guò)尺規(guī)作圖法不能解決三等分任意角問(wèn)題的依據(jù)．

1837 年法國(guó)數(shù)學(xué)家旺策爾（Pierre Laurent Wantzel，1814—1848）首先證明了“倍立方”和“三等分任意角”不可能用尺規(guī)作圖解決．

1873 年埃爾米特（Charles Hermite，1822—1901）證明了e 是超越數(shù)；1882 年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（Lindemann，1852—1939）證明了π 也是超越數(shù)，從而“變圓為方”的不可能性也得以確立．

1965 年以前，數(shù)學(xué)家華羅庚曾寫文章告誡青少年——用直尺和圓規(guī)三等分任意角是不可能的，不要為這道難題花費(fèi)精力．

2001 年華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的王中華亦在《數(shù)學(xué)通訊》上發(fā)文并證明使用尺規(guī)作圖“三等分任意角”是不可能的．

二、 “三等分任意角”仍有研究的價(jià)值

1．高中數(shù)學(xué)教學(xué)的需要

為了加強(qiáng)普通高中的數(shù)學(xué)教學(xué)，在新版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中增加了“三等分角與數(shù)域擴(kuò)充”問(wèn)題，讓三等分角問(wèn)題真正進(jìn)入我國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力．

2．可以促進(jìn)人的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

古希臘的三大幾何難題，幾千年來(lái)盡管耗費(fèi)了歷代數(shù)學(xué)家不少的心血，但是在解決這類問(wèn)題的過(guò)程中，不僅促進(jìn)了數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，而且在人類其他思想史上亦具有重大意義．

三、預(yù)備知識(shí)

1．“尺規(guī)作圖法”

關(guān)于尺規(guī)作圖法，以科學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)大辭典》中的規(guī)定為主要參考依據(jù)：

尺規(guī)作圖法又稱初等幾何作圖法或歐幾里得作圖法．僅用直尺（無(wú)刻度）和圓規(guī)（兩腳足夠長(zhǎng)）兩種工具按照下述步驟進(jìn)行有限次的組合來(lái)完成的幾何作圖方法．

（1）過(guò)兩點(diǎn)可畫一條直線（或一條射線），連接兩點(diǎn)成一線段．

（2）延長(zhǎng)線段成一條直線或射線．

（3）以定點(diǎn)為圓心定長(zhǎng)為半徑可畫圓或圓弧．

2．初等幾何知識(shí)

本文涉及的初等幾何知識(shí)，我們還是沿用科學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)大辭典》中的相關(guān)論述：

（1）關(guān)于角的分類

平角：兩邊組成一條直線的角，或一條射線在平面內(nèi)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到和原來(lái)位置構(gòu)成一條直線時(shí)所形成的角．1 平角＝180°．

直角：平角的一半，一直角＝90°．

銳角：大于0°小于直角的角．

鈍角：大于直角小于平角的角．

（2）關(guān)于三角形和圓的幾個(gè)基本知識(shí)

等腰三角形的定義及性質(zhì)：兩邊相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的兩個(gè)底角相等．

三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半．

顯然，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2 倍．

3．關(guān)于圖學(xué)的幾點(diǎn)相關(guān)知識(shí)的說(shuō)明

（1）圖學(xué)是幾何學(xué)與行為科學(xué)有機(jī)結(jié)合的綜合性學(xué)科．

圖學(xué)一開(kāi)始就是由理論幾何學(xué)與行為科學(xué)有機(jī)構(gòu)成的．從平面幾何開(kāi)始，發(fā)展到畫法幾何、工程圖、地形圖等，人們?cè)谥茍D過(guò)程中總要依據(jù)幾何原理，經(jīng)過(guò)人的科學(xué)行為（制圖）表達(dá)完成各類制圖工作．

（2）圖學(xué)是理論與實(shí)踐相結(jié)合的科學(xué)，圖學(xué)允許可逆．無(wú)論“同時(shí)行為”還是“第三度行為”，都是在允許行為可逆基礎(chǔ)上進(jìn)行的，行為本身就是四維的運(yùn)動(dòng)（時(shí)間維、空間維），允許可逆自然是在四維時(shí)空中進(jìn)行的．

四、三等分任意角的作圖方法

以銳角為例，使用“尺規(guī)作圖法”三等分任意角的作圖步驟如下：

第1 步：給定任意角∠AOB．

第2 步：作邊OA 的反向延長(zhǎng)線OC．

第3 步：以O(shè) 點(diǎn)為圓心，R 為半徑長(zhǎng)畫⊙O，圓弧與邊OB 交于F 點(diǎn)．

第4 步：在⊙O 上，以E 點(diǎn)為圓心，R 為半徑長(zhǎng)畫⊙E，⊙E 與OA 的反向延長(zhǎng)線交于D 點(diǎn)，配合使用圓規(guī)和直尺，確保圓心E 與D，F(xiàn) 三點(diǎn)在同一直線上．

第5 步：連接OE，最終形成如圖所示的幾何圖形．

需要特別說(shuō)明的是在作圖過(guò)程中，第4 步圓心的確認(rèn)很關(guān)鍵，有可能需要“多次逼近”才能確定．

五、三等分任意角的證明

通過(guò)以下兩種方法分別證明前面的作圖方法可以三等分任意角．

方法一：

在⊙E 中，

因?yàn)椤螼DF 為圓周角，∠OEF 為圓心角

所以∠OEF＝2∠ODF．

因?yàn)镺E＝OF，

所以△EOF 為等腰三角形，

∠EFO＝∠OEF＝2∠ODF，

∠AOB＝∠ODF＋∠EFO＝3∠ODF，

故有

方法二：

在△DEO 中，因?yàn)镈E＝OE，

所以△DEO 為等腰三角形，

所以∠ODE＝∠EOD，

∠OEF＝2∠ODE，

因?yàn)镺E＝OF，

所以△EOF 為等腰三角形，

所以∠EFO＝∠OEF＝2∠ODF，

∠AOB＝∠ODF＋∠EFO＝3∠ODF，

六、結(jié) 論

通過(guò)以上的作圖和證明，我們有理由認(rèn)為對(duì)“三等分任意角”的作法有革命性的突破．

1．作圖過(guò)程中嚴(yán)格遵守“尺規(guī)作圖法”的要求，且在有限的步驟內(nèi)準(zhǔn)確三等分角．

2．通過(guò)初等幾何理論對(duì)所作圖形進(jìn)行了嚴(yán)密的證明，結(jié)果正確．

3．整個(gè)作圖過(guò)程符合圖學(xué)是理論與實(shí)踐相結(jié)合的科學(xué)觀點(diǎn)：圖學(xué)允許可逆，無(wú)論“同時(shí)行為”還是“第三度行為”，都是在允許行為可逆基礎(chǔ)上進(jìn)行的．

路曼曼其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索．