群論中“不變子群”概念的理解

◎朱寬云 楊永偉 （．長江大學 信息與數學學院，湖北 荊州 43403；．安陽師范學院 數學與統計學院，河南 安陽 455000）

一、引 言

近世代數是大學本科數學專業的主干課程之一，主要包括群、環、域三個代數系統．在近世代數視角下，可以清晰地看到很多初等數學內容的本質，這是數學專業師范生的職業技能需求［1］．但是由于近世代數具有高度抽象性和嚴密邏輯性的特點，學生學習起來往往困難重重．在群論中，不變子群是一類特殊的子群，在商群的構造中起著十分重要的作用，然而對于初學者來說，對不變子群的出現往往感到困惑，構造商群一定需要不變子群嗎？ 本文以張禾瑞先生所編的《近世代數基礎》教材［2］為參照，采用問題導向的方式，逐步論述在不變子群的基礎上構造商群的必然性．同時，討論了不變子群的定義條件和元素可換的關系，以及不變子群的傳遞性問題．

二、不變子群的由來

問題1 設H 是群G 的子群，Sl＝｛aH｜a∈G｝為H 的所有左陪集構成的集族，那么Sl關于子集乘法構成群嗎？

解析 如果Sl關于子集乘法能夠構成群，則Sl中的元素關于子集乘法滿足封閉性，即對于任意的xH，yH∈Sl，xH·yH＝zH∈Sl，也就是說左陪集xH 與左陪集yH 的乘積結果必須是一個左陪集．然而，要達到這一要求，須滿足下述條件．

引理1 設H 是群G 的子群，?x，y∈G，

則xH·yH 仍是左陪集??a∈G，aH＝Ha．

證明 （?）對任意的a，b∈G，ba＝（be）（ae）∈（bH）（aH），

故baH＝（bH）（aH）．再根據群的消去律可得aH ＝HaH，因此，?ha∈Ha，存在h1，h2∈H，使ah1＝hah2，可得ha ＝∈aH，故Ha?aH．

另外，根據上述討論結果可得Ha-1?a-1H，

所以aH?Ha．綜上，aH＝Ha．

（?）由于?a∈G，aH ＝Ha，根據結合律和子群的性質H＝HH，可得

根據引理1 的分析，Sl要關于子集乘法構成群則須滿足條件：?a∈G，aH ＝Ha．這時候可求出Sl的單位元（aH）-1＝a-1H，aH·bH＝（ab）H．

因此，我們可以看出，

Sl關于子集乘法構成群??a∈G，aH＝Ha．

此時，G 中滿足條件?a∈G，aH ＝Ha 的子群H 就構成了一類新的子群——不變子群（或稱為正規子群）．

三、不變子群及其判定

定義1［2］設N 是群G 的子群．若?a∈G，

例1設G ＝S3，則N ＝｛（1），（1，3，2），（1，2，3）｝是G的不變子群．

問題2 設N 是群G 的子群，a∈G，那么aN ＝Na 與?n∈N，an＝na 的關系是什么？

答 這里“aN ＝Na”代表aN 和Na 兩個集合相等，“?n∈N，an＝na”代表N 中的所有元素與a 可交換．

（1）顯然，當“?n ∈N，an ＝na”成立時，容易得到aN＝Na．

（2）若aN ＝Na，不妨設an1∈aN，則存在n2∈N 使得an1＝n2a，進一步可得，n1＝a-1n2a．但是，在沒有其他條件限制的情況下無法得到n1＝n2．也就是說條件“aN ＝Na”無法保障“?n∈N，an＝na”是成立的．在例1 中，（1，2）N ＝N（1，2）＝｛（1，2），（2，3），（1，3）｝成立，并且（1，2）（1，2，3）＝（1，3）＝（1，3，2）（1，2），但是（1，2，3）≠（1，3，2）．

（3）G 的中心

是G 的子群，并且G 的任一元a 和N（G）中的任一元n可換，即an＝na，故aN（G）＝N（G）a，所以N（G）是G 的不變子群．對于N（G）來說，可以根據aN（G）＝N（G）a 得到結論“?n∈N（G），an ＝na”．不妨設an1∈aN（G），則存在n2∈N（G）使an1＝n2a，進一步，由an1＝an2根據群的消去律可得n1＝n2．這里，可以看到由an1＝n2a 推出n1＝n2的關鍵在于N（G）中的任一元素與群G 中的所有元素是可換的，故“aN＝Na??n∈N，an＝na”成立．

（4）對于可換群G 的任一子群N，由于?a，x∈G，總有ax＝xa，所以aN＝Na，故可換群的任一子群都是不變子群．并且N 中的任一元素與G 中的所有元素是可換的，所以結論“aN＝Na??n∈N，an＝na”成立．

定理1［3，4］（不變子群的判別定理）設N 是群G 的子群，則下列條件等價：

定理1 的前提條件是：N 是群G 的子群，而不是N 是群G 的非空子集．不變子群之所以重要，其根本原因在于這種子群的全體陪集對于子集的乘法可以做成一個新的群．

設N 是群G 的不變子群，將N 的所有陪集做成一個集合S＝｛aN｜a∈G｝，由問題1 的討論可知，在陪集的乘法下，即?x，y∈G，

S 構成一個群，將其稱為G 關于N 的商群，記作G／N．

四、不變子群的傳遞性問題

群的不變性與群的可換性在有限群論的研究中扮演著非常重要的角色，而如何利用二者的聯系來研究有限群的結構是一個重要的課題．

我們知道“子群”的概念具有傳遞性：

那么“不變子群”是否也具有傳遞性呢？ 即

例2［5］已知Klein 四元群

是4 次對稱群S4的一個不變子群，又因為K4是一個可換群，故其子群

是K4的一個不變子群，從而有

但是B4不是S4的不變子群，因為

（1，3）B4＝｛（1，3），（1，2，3，4）｝≠B4（1，3）＝｛（1，3），（1，4，3，2）｝．

這說明了，不變子群的不變子群不一定是原群的不變子群，亦即不變子群不具有傳遞性．

例2 同時表明了在非可換群S4中有的不變子群不具有傳遞性，但并不是所有的不變子群都無傳遞性．例如，4 次交替群A4是4 次對稱群S4的不變子群，Klein 四元群K4是A4的不變子群，即而根據例2 可知，K4是S4的不變子群，即這就論證了非可換群S4中有的不變子群具有傳遞性．

在一些特殊的非可換群中，不變子群的傳遞性是恒成立的．例如，Hamilton 群

是非可換群，H 的每個子群都是正規子群，因此，對于Hamilton 群H 來說，不變子群的傳遞性恒成立．

一般地，若一個群G 的任何子群都是不變子群，則稱G為Dedekind 群．顯然，Dedekind 群G 具有不變子群的傳遞性的性質．

雖然并不是所有的群都具有不變子群傳遞性，然而，若添加一定條件，則可以得到下述結論．

定理2［3，4］設G 是群，N≤H≤G．若

證明 對任意的n∈N，h∈H，則h∈G，由N 是G 的不變子群，可得hnh-1∈N．根據定理1 可知，N 是H 的不變子群．