與反比例函數圖像有關圖形面積問題求解策略

◎朱 光 （長沙市田家炳實驗中學，湖南 長沙 410000）

反比例函數中所涉及的知識面廣，考查的內容比較多，具有較強的可挖掘性，是對學生數學綜合能力的考驗，進而在最近幾年已經一度成為中考數學的重要考點內容．在反比例函數中可以借助相關的數值求出三角形面積，反比例函數的圖像是雙曲線，而k 的值是雙曲線上點的橫坐標與縱坐標的乘積，過雙曲線上的任意一點向x 軸作垂線，最后將該點、垂足以及坐標原點構成三角形，可以發現所構成的三角形面積全都相等．可以借助求解三角形的面積引導學生學習矩形面積，將反比例函數的學習與圖形面積學習相結合．

一、利用圖形面積求反比例函數的系數k

反比例函數是現今中考數學當中的熱點問題，尤其是和反比例函數相關的圖形的面積問題，這類問題在中考的數學試卷中頻繁出現．因為與反比例函數圖像有關的圖形面積問題不僅僅是考查學生對數形結合思想的應用情況，還考查學生對轉化化歸、函數和方程思想的學習情況．和反比例函數圖像有關的基本圖形和基本圖形的變式圖在基礎題和綜合類題中出現的頻率極大，所以學生在復習時要重視與反比例函數圖像有關的圖形面積問題，而解決這類問題最重要的就是要利用好圖形的面積對反比例函數的系數k 進行求值．

例1如圖所示，直線y ＝cx 與反比例函數的圖像相交于A，B 兩點，過點B 作BC 垂直于x 軸，垂足為C，連接AC，假設S△ABC＝1，則反比例函數中的系數k 的值是多少？

解析在看到這道題之后，首先可以明確題目中的已知條件為S△ABC＝1，而需要解答的問題是求反比例函數中k的值，接下來可以引導學生回想與k 相關的代數式，將三角形的面積運用代數式表達出來，從而形成關于k 的代數式，進而將k 的值求出．不過，大多數學生在解題過程中一貫使用傳統的解題思路，主要是先求A，B 兩點的坐標，再求出BC 與高的值，如果運用這種解題方法，該題的復雜度會隨之增加［1］．在這種情況下，可以讓學生對圖形進行觀察，然后引導學生運用圖形面積解答問題．經過觀察可以發現△BOC 與△AOC 之間存在一定的關系，兩者之間的共同點主要是底邊相同，并且高也相等，而△ABC 是由兩者共同組成．由此，我們可以得出S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＝1，進而可以得出S△BOC＝S△AOC．然后根據已知條件S△ABC＝1，可以得出最后根據反比例函數與△OBC 的面積關系得，進而可以算出k ＝1，然后我們從該題的圖像中可以具體看到該反比例函數的圖像位于一、三象限，最終得出反比例函數的系數k 的值為1．通過該題的解答可以分析得出此種形式的題需要借助三角形面積與面積之間的轉化，然后利用反比例函數與三角形之間的明顯關系，最終得出反比例函數的系數k 的值［2］．這種涉及圖形的反比例函數比較常見，教師在教學過程中需要仔細研究，并結合學生日常的解題習慣進行教學．

二、利用圖形面積與反比例函數的解析式求解其他問題

例2如圖所示，在平面直角坐標系中，反比例函數y ＝的圖像與y＝kx＋1 的圖像在第一象限中相交于C 點，過C點向坐標軸作垂線CD，CF，最終可以得出正方形CDOF，要求根據題目中的已知條件得出一次函數的解析式［3］．

解析在進行一次函數的解析式的解答中，可以讓學生以正方形與反比例函數圖像之間的關系為題目的突破口，進而算出C 點的具體坐標．首先，我們可以對C 點進行假設，假設C 點的坐標為（a，b），由已知條件可以得出C 點在反比例函數的圖像上，然后我們可以得出ab ＝9，此時可以讓學生對圖形進行觀察，觀察得出四邊形CDOF的邊長相等，為正方形，所以可以得出a，b 值相等，a2就等于9，由此可以得出a ＝3 或者a ＝-3，然后將題目的解答引導到圖形中，可以看出C 點在第一象限中，也就得出C 點坐標為（3，3）．最后因為C 點在一次函數y＝kx＋1 的圖像上，將點C 的坐標代入函數解析式中，最終可以得出

三、利用圖形面積與反比例函數的解析式求解

這些年來，全國各地的中考試卷中都或多或少地涉及了與反比例函數圖像有關的圖形面積問題．從表面來看，與反比例函數圖像有關的圖形面積問題涉及的圖形變化較多，樣式繁雜，從這類題目考查的知識點上來講，與反比例函數圖像有關的圖形面積問題通常把反比例函數、相似三角形和圖形變換等知識點結合在一起，是具有很強的綜合性的題目．從這類題的解題方法上來看，這類題因為涉及的知識點較多，所以它的解題方法也有很強的靈活性，這就導致想要更好地解答這類題目，不僅需要牢固地掌握反比例函數的相關知識，還需要對三角形、四邊形等一些與反比例函數圖像有關的圖形面積問題中涉及的圖形相關的知識點有一定程度的了解和掌握．下面將從三角形、矩形、平行四邊形以及圓等圖形著手，歸納一些這類問題的解題策略．

（一）三角形的面積

在解決與反比例函數圖像有關的圖形面積問題中涉及的圖形是三角形這一類的問題時，不僅需要掌握反比例函數的相關知識，還需要對三角形的面積公式以及相似三角形的一些性質等有一定程度的了解，這樣才能夠很好地解決這類問題．

（二）矩形的面積

當遇到與反比例函數圖像有關的圖形面積問題中的圖形是矩形時，我們通常會使用矩形的面積公式和特殊矩形的相關性質進行解題．

（三）平行四邊形的面積

在解決與反比例函數圖像有關的圖形面積問題中涉及的圖形是平行四邊形這一類的問題時，我們通常會使用平行四邊形的面積公式和特殊平行四邊形的相關性質進行解題．

四、圓及其他圖形的面積

在解決與反比例函數圖像有關的圖形面積問題中涉及的圖形是圓或者其他圖形這一類的問題時，我們能夠利用特殊圖形的相關性質和將圖形進行變換去求解，或者使用一些和圓的面積的和差去表示一些不特殊的圖形的面積．

在進行反比例函數和幾何圖形面積的相關教學時，最重要的就是讓學生徹底了解和掌握反比例函數中k 的意義，其次就是讓學生能夠更好地運用反比例函數的圖像和相關的性質去解決一些綜合性較強的問題．在整個解決與反比例函數圖像有關的圖形面積問題的教學過程中，讓學生自己試著在反比例函數的圖像上任取一點P（x，y），再過點P 作x 軸和y 軸的垂線，進而深入思考x 軸和y 軸與垂線在坐標系上形成的矩形和三角形的面積與反比例函數中k值的關系．本節課的教學重點就是讓學生們能夠對反比例函數的圖像進行分析，以更好地解決實際問題．而且，因為已經學習過了函數的概念，所以學生們能夠對反比例函數的概念有一個初步的了解．教師重點教學的反比例函數的解題方法主要是畫圖像法．通過觀察圖像的性質，結合函數的變化規律、特殊值的位置等將反比例函數歸類，并提出相關的問題讓學生自主研討．這種教學方式能夠幫助學生更好地利用反比例函數解題，通過對反比例函數的歸類，靈活地運用已經學過的相關解題方式，而自主地研討能夠更好地提升學生的自主學習能力，還能讓學生學習到的知識掌握得更加牢固．

解析：由已知，點A，B，C，D，E 這五個整點的橫、縱坐標均為正整數，且這五個點都在反比例函數的圖像上，所以這五個點的橫、縱坐標的乘積為16．因為16 ＝1×16 ＝2×8＝4×4，所以結合圖像可知點A，B，C，D，E 的坐標依次為（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）．每個橄欖形的面積可以看成以正方形邊長為半徑的半圓的面積與這個正方形的面積之差．設正方形的邊長為m，則這個正方形內部的橄欖形的面積為

結束語：根據上文描述得知，為了降低學生在有關反比例圖形題目的解答中的難度，增加此類題目的正確率，節省題目的解答時間，教師在進行與反比例函數有關的圖形面積教學過程中，首先，應該讓學生明確反比例函數中k 的具體意義，然后通過矩形基本特征圖形面積等于k 以及直角三角形基本特征圖形面積等于k 的一半的基本理論，讓學生對復雜的題型進行解題思路的轉變．此外，在數學解題過程中要鍛煉學生的觀察能力、思維能力以及探索能力，在數學學習過程中，只有具備這些能力才能有效地解決問題．