巧求解，妙拓展
——一道江蘇模擬三元最值題的拓展

◎袁文娟 （江蘇省張家港中等專業學校，江蘇 張家港 215600）

在近些年的高考模擬題、高考題與數學競賽題中，經常會有求解雙變元或多變元的代數式的最值（最大值或最小值）或取值范圍的問題．此類問題往往非常新穎，難度幅度較大，思維方式多變，破解方法多樣．著名數學家、教育學家G．波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串成長，找到一個以后，我們應該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的．”下面筆者結合一道江蘇模擬卷中的三變元最值題來加以實例剖析，結合多思維角度的切入，從而正確破解，并在此題的基礎上深入挖掘，變式拓展，以達到“觸類旁通”“一題多變”“一題多解”的良好效果．

一、問題呈現

【問題】（2018 屆江蘇省金陵中學、海門中學、南師附中三校高三數學第四次模擬·13）已知正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則的最小值是．

此題是涉及已知代數關系式條件下的三變元代數式的最值題，條件簡潔，字母變化大，沒有規律性，給解題帶來不少難度．破解該問題的基本的思維方向就是通過已知關系式加以轉化，利用基本不等式、柯西不等式、權方和不等式等方法加以處理，其中離不開基本不等式、不等式的性質的綜合應用．

二、問題破解

思維角度1：基本不等式思維．

解法1：（基本不等式法）由正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當且僅當x ＝y時等號成立，進而可得

思維角度2：柯西不等式思維．

解法2：（柯西不等式法）由正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當且僅當x ＝y時等號成立，則有

思維角度3：權方和不等式思維．

解法3：（權方和不等式法）由正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當且僅當x ＝y時等號成立，進而可得

思維角度4：導數思維．

解法4：（導數法）由正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，可得x，y，z∈（0，1），

則由基本不等式可得1-z2＝x2＋y2≥2xy，當且僅當x ＝y時等號成立，進而可得則有

點評：解決本題主要是利用基本不等式以及不等式的性質對其加以轉化，差別是如何對三變元加以轉化與應用，進而達到確定最值的目的．這里多次利用了基本不等式，以及柯西不等式、權方和不等式等加以巧妙轉化，從而得以確定最值．利用導數思維的轉化也是破解此類問題比較常見的一類方法技巧，運用這種方法的關鍵是合理消元，巧妙地構造函數．

三、變式拓展

變式方向1：保留題目中三變元之間的限制條件，改變原來求解的結論形式為求解三變元的一次代數式的最值問題，從而得到變式拓展?

【變式1】已知正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則S ＝x＋2y＋2z 的最大值是

解析：由于正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，

根據柯西不等式有9＝（1＋4＋4）（x2＋y2＋z2）≥（x＋2y＋2z）2，則有S＝x＋2y＋2z≤3，當且僅當時等號成立，所以S＝x＋2y＋2z 的最大值是3，故填答案：3．

點評：如果進一步改變一次代數式的對應系數，那么通過柯西不等式的應用，以及變式1 的解析過程，可以得到其他相關的三變元的一次代數式（例如，S ＝mx＋ny＋pz，其中m，n，p 為正數）的最值問題．

變式方向2：保留題目中三變元之間的限制條件，改變原來求解的結論形式為求解三變元的分式和的代數式的最值問題，從而得到變式拓展?

【變式2】已知正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則的最小值是．

解法1：（柯西不等式法）由于正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，根據柯西不等式有當且僅當時等號成立，所以的最小值是36，故填答案：36．

點評：通過條件的等價變換，結合分式的特征有效聯想到柯西不等式的特征與規律，借助柯西不等式的合理轉化，從而得以破解三變元的分式和的代數式的最值問題．當然，也可以通過關系式的展開，利用基本不等式來求解，只是過程較為煩瑣，運算量大．

變式方向3：保留題目中三變元之間的限制條件，改變原來求解的結論形式為求解三變元的分子為1 的高次分式代數式的最值問題，從而得到變式拓展?

【變式3】已知正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，則的最小值是．

解析：（整體思想）由正數x，y，z 滿足x2＋y2＋z2＝1，

點評：根據條件，借助基本不等式以及不等式的性質合理轉化，巧妙應用，從而得以破解更為復雜的高次分式代數式的最值問題．

四、解后反思

本文通過對模擬試卷中三變元最值問題的分析，多思維切入的“一題多解”，以及在此基礎上的變式、拓展與應用，使得學生在破解三變元最值問題的基礎上進一步深入探究，達到解一組數學題、一類數學題的目的，復習總結了數學知識，理解掌握了相關方法，提升了數學能力，為學生養成良好的思維習慣做出有益的嘗試．美國著名數學家哈爾莫斯曾說過，“問題是數學的心臟”．對于學生來說，如何確定解題思維，把問題歸結到同一個熟悉的“問題”來處理是解決數學問題的關鍵．