7 個(gè)思維視角，9 種破解方法
——一道解三角形題的求解

◎陶同兵 （江蘇省南京交通技師學(xué)院，江蘇 南京 210049）

解決和三角形有關(guān)的問題要求學(xué)生不僅要具有較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平，還要善于審題，抓住關(guān)鍵的思維視角切入，采用相應(yīng)的解題策略，優(yōu)化解題過程．

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2019 年湖南省婁底市高考數(shù)學(xué)二模試卷·16）在△ABC 中，a，b，c 分別為角A，B，C 所對(duì)的邊，若c＝2b，△ABC 的面積為1，則a 的最小值為．

此題以三角形為載體，需結(jié)合兩邊長(zhǎng)的關(guān)系以及三角形的面積來確定另一邊長(zhǎng)的最值，主要考查解三角形、三角函數(shù)以及最值的求解問題，要求學(xué)生要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化能力等．此題背景簡(jiǎn)單，思維視角眾多，破解方法精彩．

二、問題破解

1．思維視角：解三角形思維．

方法1：（正弦定理法）

解析：由于c＝2b，結(jié)合正弦定理可得sin C＝2sin B，

即sin2C＝4sin2B，

則有sin2C-sin2B＝3sin2B，

可得sin（C＋B）sin（C-B）＝3sin2B，

即sin Asin（C-B）＝3sin2B，

則有a2≥3，即，即a 的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)sin （C-B）＝1 時(shí)等號(hào)成立，

2．思維視角：三角函數(shù)思維．

方法2：（三角函數(shù)有界性法）

解析：結(jié)合余弦定理，可得a2＝b2＋c2-2bccos A ＝b2＋4b2-4b2cos A＝5b2-4b2cos A，

而根據(jù)三角函數(shù)的有界性知3sin A＋4cos A ＝5sin （A＋φ）≤5，則有5-4cos A≥3sin A，

3．思維視角：解析幾何思維．

方法3：（坐標(biāo)法）

解析：以線段BC 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段BC 所在的直線為x軸，線段BC 的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

所以a2≥3，即，即a 的最小值為

方法4：（阿氏圓法）

解析：以線段BC 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段BC 所在的直線為x 軸，線段BC 的垂直平分線為y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如上圖所示，則

方法5：（斜率的幾何意義法）

解析：結(jié)合余弦定理，可得a2＝b2＋c2-2bccos A ＝b2＋4b2-4b2cos A＝5b2-4b2cos A，

所以a2＝4k≥3，即，即a 的最小值為

4．思維視角：平面幾何思維．

方法6：（幾何法）

解析：如圖所示，作∠CAD ＝∠B，交BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．設(shè)CD＝x，

即4x2＝（a＋x）x，可得

所以有a2≥3，即

5．思維視角：方程思維．

方法7：（判別式法）

整理可得16 ＝（a＋b ＋c）（-a＋b ＋c）（a-b ＋c）（a ＋bc）-（a4＋b4＋c4）＋2（a2b2＋b2c2＋c2a2）＝-（a4＋b4＋16b4）＋2（a2b2＋4b4＋4a2b2），

整理可得9b4-10a2b2＋a4＋16＝0，

那么關(guān)于b2的一元二次方程的判別式Δ ＝（-10a2）2-36（a4＋16）≥0，

所以a2≥3，即，即a 的最小值為

6．思維視角：基本不等式思維．

方法8：（基本不等式法）

結(jié)合c＝2b，可得（a＋3b）（3b-a）（a＋b）（a-b）＝16，

即（9b2-a2）（a2-b2）＝16，

那么有（9b2-a2）（9a2-9b2）＝16×9，

結(jié)合基本不等式，可得16×9 ＝（9b2-a2）（9a2-9b2）≤

所以a2≥3，即，即a 的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)9b2-a2＝9a2-9b2，即5a2＝9b2，亦即時(shí)等號(hào)成立，故填答案：．

7．思維視角：導(dǎo)數(shù)思維．

方法9：（導(dǎo)數(shù)法）

解析：結(jié)合余弦定理，可得a2＝b2＋c2-2bccos A ＝b2＋4b2-4b2cos A＝5b2-4b2cos A，

三、解后反思

以上三角形中的最值問題的破解方法涉及函數(shù)、方程、三角函數(shù)、解三角形、不等式、平面幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等眾多的知識(shí)，串聯(lián)起初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)中的許多相關(guān)知識(shí)，思維視角涉及面廣，解法精彩紛呈．結(jié)合眾多不同的思維視角來處理此類解三角形問題，充分展示了解三角形問題中蘊(yùn)涵的知識(shí)與能力．學(xué)生通過解決此類問題能夠真正提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．