循序漸進，攻堅克難
——基于高考背景下高中數學導數教學策略探究

◎程燕飛 （內蒙古師范大學附屬第二中學，內蒙古 呼和浩特 010070）

“導數”部分的內容可以貫穿于對各類函數的探究中，是幫助學生研究函數變化的一個重要指標．而函數又是高中數學知識內絕對的重點與難點，為此學好導數的重要性是顯而易見的．當前在針對導數部分內容展開教學時，部分教師仍然采用著傳統單一的教學模式，導致學生學習該部分內容時的效率和質量極為低下．為此，當下探究出基于高考背景下針對導數部分教學方法與策略的任務極為緊迫．

一、明確概念定義,加深知識理解

如今針對“導數”部分教學時，經常是重應用、輕概念．即教師有針對性地講解不同函數的求導方法，如冪函數、對數函數、三角函數等，但是針對概念和推導經常是一帶而過．學生因此對導數的概念理解不深，這樣所導致的后果就是學生針對稍微綜合點的題目就會沒有思路，從而白白丟掉應得的分數．為此教師應對導數的概念給予應有的重視．

對于綜合性、關聯性非常強的高中數學，明確概念定義是學生學好知識的“根”，其他任何的解題方法與技巧都是由這個根生長出來的．為此，教師在針對“導數”部分內容展開教學時，第一步就是要帶領學生理解“什么是導數”．導數的定義分為兩種，一種是常規的導數的概念定義，一種是便于學生理解的幾何定義．首先，教師利用大量的實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，介紹導數概念的實際背景，從而讓學生理解導數的定義，在此期間高中學生沒有系統學習過“極限”的概念，則需教師認真耐心講解，一遍不行就兩遍，兩遍不行就三遍，通過網絡教學以及小組討論的形式幫助學生理解記憶，讓學生充分深入理解消化．之后教師利用函數圖像，讓學生直觀地理解導數的幾何意義，即明確“導數就是某曲線在曲線上某點處的斜率”，體會化曲為直的極限思想．在此期間教師可通過畫一個簡單的一元二次函數圖像來為學生解釋，幾何意義相較于常規的概念定義要容易理解一些．最后更為重要的是，對于簡單函數的求導公式，教師需要求學生通過定義推導出來，并且可類推一般多項式函數的導數公式，體會由特殊到一般的思想，這是幫助學生掌握導數定義的最后一道保險．當然在教學過程中，教師要讓學生明白利用導數的知識可以解決哪些問題，進而激發學生的學習興趣．

二、劃分知識類別,理清學習思路

導數作為研究不同函數變化的重要工具，其所研究的方向也各種各樣．為此，一個清晰明確的學習思路是學生學好導數的重要法寶，更是徹底攻克導數的有效途徑．而思維導圖就是幫助學生理清學習思路，劃分知識類別的重要工具．學生在思維導圖中能夠清晰明了地理解不同知識點間的聯系與區別，從而實現對知識的靈活綜合的掌握與應用．

教師可以通過思維導圖幫助學生總結出具體的題型類別和解題方法．例如，針對單調性，教師可總結出導數大于等于零時函數單調遞增，導數小于等于零時函數單調遞減，繼而教師再給出幾道典型的例題幫助學生加深記憶．針對函數的極值與最值，教師可總結出導數為零時的點是否為函數的極值點，而最值的求法要著眼于導數為零的點和區間端點，求出對應的函數值，比較大小得出最大值點和最小值點．針對與導數幾何意義相結合的求切線方程（切點坐標、切線斜率），教師則要要求學生要先通過求導公式求出在切點處的導數值即為斜率，之后結合斜率和點坐標求出切線方程．針對通過導數圖像求函數圖像的題型，教師要告知學生不要混淆二者的定義，要結合導數圖像，來判斷函數斜率的大小繼而判斷函數圖像的增減程度，最終畫出函數圖像．教師要利用思維導圖將與導數有關的所有知識和考點詳細分類，之后讓學生逐個攻克，這樣可極大提升學生的學習質量和效率，與此同時，還可方便學生在今后快速找到自己的薄弱點，進行有針對性的復習與回顧．

三、善用網絡教學,攻克重點難點

導數在高中數學知識中被稱為重難點是絕對不可否認的事實．因為導數不但自身知識點眾多，它還具有連接性強的特點．即它可與其他各類知識進行結合，從而實現一道題考出多個知識點．在新課改后國家大力倡導培養學生對知識的綜合運用能力的背景下，今后的高考題型更為綜合與全面是不可改變的大趨勢．本地高考數學試題往往是用導數題來做壓軸題的．比如，針對一道導數部分的題，在教學過程中，教師該如何引導才能攻克難點？

例1［2018 全國Ⅱ卷21（1）題］已知函數f（x）＝exax2．若a＝1，證明：當x≥0 時， f（x）≥1．

盯住問題：a＝1 時，證明：當x≥0 時， f（x）≥1，即當x≥0 時f（x）＝ex-x2≥1．

根據函數性質及已有經驗，嘗試考慮1＝f （？）＝ f （0），這樣解決問題的思路就清晰了，需要證明f（x）＝ex-x2在［0，＋∞）是增函數，或f（x）在［0，＋∞）的最小值為f（0）．這樣要解決這個問題就會自然想到導數這個工具，

即證f′（x）＝ex-2x ＞0 在［0，＋∞）成立或討論其單調性．

這時我們繼續按剛才的函數性質考慮，問題又變成了證明函數f′（x）＝ex-2x 在［0，＋∞）單調遞增或求其最小值大于0；也就是要證f′（x）＝ex-2x＞0 在［0，＋∞）上成立或求其在［0，＋∞）的最小值，這時已經到了最熟悉的函數，顯然問題得到解決．

本例的教學過程，教師可如上逐步引導學生思考，同時教會學生審題之后該如何思考解題的思路．在教學中教師除了落實“四基四能”外，還要讓學生會思考、會分析問題、解決問題．

例2

（1）求函數f（x）的極值、最值與單調區間；

（2）如果x∈［a＋1，a＋2］時，總有｜f′（x）｜≤a，求a 的取值范圍．

針對這道題，第一問對于學生而言就是單純地考導數的應用．在求導時注意不要出錯，無論帶參數與否，都是實數，就看成固定值，之后按照常規的解題方法來解即可．值得注意的就是解一元二次方程時要細心．針對第二問，如果學生初次接觸此題，定然是不容易找到思路的，因為其中不但有參數而且涉及取值范圍，還有絕對值不等式等知識，會使其思維產生混亂．為此，教師可通過微課視頻來展開教學，即通過自行錄制或是引用其他教師的精煉講解視頻，將解決該題第二問的要點點明，首先該題是關于導數的變化的，因此就要避免研究f（x），否則必然混淆學生解題思路．之后要明確2a＜a＋1 并且導數圖像在［a＋1，a＋2］上是單調遞減的，最后也是最重要的就是教師要告知學生，｜f′（x）｜≤a 也就相當于在對應區間上的導數的最大值和最小值的絕對值都要小于a，繼而解不等式組，求出區間．整個過程利用微課視頻會很快讓學生理解，之后教師要為學生多準備幾道該類題讓學生練習，加深理解．現在網絡教學以及微課顯得尤為重要．

在導數與不等式的綜合知識考查中，尤其是利用導數證明不等式的問題中還有一類方法不容忽視，那就是放縮法，其中常見的放縮有sin x≤x (x≥0)，ex≥x＋1，ln x≤x-1等，教師可以借助計算機將這幾類函數的圖像繪制出來，讓學生理解并記住就相對容易一些．

例3已知函數

（1）若函數f（x）的最小值為2，求a 的值；

解題分析的定義域為（0，＋∞），且

若a≤0，則f′（x）＞0，于是f（x）在（0，＋∞）上單調遞增，故f（x）無最小值，不合題意．

若a＞0，則當0＜x＜a 時，f′（x）＜0；當x＞a 時，f′（x）＞0．

故f（x）在(0，a)上單調遞減，在（a，＋∞）上單調遞增，

于是當x＝a 時，f（x）取得最小值ln a，由已知得ln a ＝2，解得a＝e2．

（2）方法1：∵當x∈（0，π），且a ＝1 時，由（1）可知要證

只要證xex-sin x＞0．利用導數這個工具求函數y ＝xexsin x 的最小值大于0 或判斷函數y＝xex-sin x 在x∈（0，π）單調遞增，y＞y（0）即可．

方法2：在方法1 的基礎上利用sin x＜x（x＞0），進行放縮，那么要證只要證即證ex＞1，由于x∈（0，π），所以ex＞1 顯然成立．

方法3：在上面兩方法的基礎上利用ex＞x＋1（x＞0）進行放縮，那么要證

在本題中，部分學生使用ln x≤x-1 進行放縮，錯解如下：要證

在這一步的操作上就發生了錯誤，在放縮的應用過程中，要遵守不等式的傳遞性，

即a＞b，b＞c，則a＞c．

本文通過具體的實例，認識導數的工具性及導數與其他問題的聯系，感受導數在解題中的作用和魅力．同時使學生在解題過程中，逐步養成扎實嚴格、實事求是的科學態度，從而真正攻克導數部分重點和難點題型．

綜上所述，高中數學中的導數部分是廣大教學團體教學的重點與難點，只要教師結合當下的教育大趨勢，命題的新方向，以及學生的學習特點，不斷地探究與創新，一定能夠輕而易舉地幫助學生攻克“導數”這部分知識，為其未來的學習打下堅實的基礎．