基于APOS 理論的指數(shù)函數(shù)概念教學設計

◎陳 麗 （貴州師范大學數(shù)學科學學院，貴州 貴陽 550001）

一、APOS 理論的概念

APOS 理論是由美國的杜賓斯等人在數(shù)學教育與研究實踐中發(fā)展起來的．杜賓斯等人認為學生學習數(shù)學概念時，需要經(jīng)歷四個心理建構過程，依次是操作、過程、對象、概型．［1］APOS 理論的四個階段，每一個階段對學生概念的獲得都具有不同的意義，因此在運用APOS 理論時不可逾越．APOS 理論最初僅用于大學數(shù)學教育，現(xiàn)在在小學和中學的數(shù)學概念教學中也得到了越來越廣泛的應用．

二、基于APOS 理論的指數(shù)函數(shù)的概念教學

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》中對指數(shù)函數(shù)的概念的學習要求是“通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念［2］”．學生在學習指數(shù)函數(shù)的概念時常出現(xiàn)對指數(shù)函數(shù)的定義、符號、底數(shù)的限制條件不理解，以及對學習目標不明確，從而會在心理上對指數(shù)函數(shù)的學習產(chǎn)生抵觸和厭學等情況．［3］因此，在數(shù)學課堂教學中，教師要注意學生的現(xiàn)有知識經(jīng)驗和認知發(fā)展方向，結合實際生活的需要講解指數(shù)函數(shù)的知識．在教學當中，教師應以學生為主體，讓學生主動探究、理解和掌握指數(shù)函數(shù)的概念．結合杜賓斯等人提出的APOS 理論，在指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一節(jié)中，“操作”階段（Action）是學生通過操作來感知事物，理解所學習內(nèi)容的意義．學生通過操作，對指數(shù)函數(shù)會有一定的感性認識，理解指數(shù)函數(shù)的意義．在這一階段，教師要向學生提供符合指數(shù)函數(shù)的概念學習的材料或者情景動畫，設計適合學生探究指數(shù)函數(shù)概念的數(shù)學活動，為歸納、概括指數(shù)函數(shù)的概念提供固著點．“過程”階段（Process）是學生把“操作”階段中的操作感受進一步內(nèi)化壓縮的過程．學生通過對數(shù)學活動的思考、分析、比較、抽象，得到指數(shù)函數(shù)的概念．在這一階段，教師要適當?shù)乩脝栴}驅動啟發(fā)學生思考，對指數(shù)函數(shù)的概念進行辨析，并用嚴謹和符合邏輯的數(shù)學語言準確地表述出指數(shù)函數(shù)的定義、符號及指數(shù)函數(shù)的定義域．［4］“對象”階段（Object）是對“過程”階段的進一步提升，讓指數(shù)函數(shù)成為一個具體的對象．在這一階段，教師應謹慎引導學生在動手操作、觀察和分析、總結中得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學生對指數(shù)函數(shù)的理解逐漸上升到“概型”階段．到了“概型”階段（Scheme），在學生的頭腦中指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)將以一種綜合的圖式呈現(xiàn)，并在學生的數(shù)學知識體系中占據(jù)獨特的位置．［5］在這一階段，學生對指數(shù)函數(shù)的概念有較為完整的認知結構或認知框架．在“概型”階段，教師可利用例題，讓學生通過練習豐富對指數(shù)函數(shù)概念的理解，幫助學生形成指數(shù)函數(shù)概念的圖式．

APOS 理論反映的是由特殊的實例或者情境到一般的數(shù)學概念的過程．APOS 理論下的數(shù)學概念的教學是讓學生勇于探索未知的領域，讓學生在思考、探究、合作的模式中經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，最終得到數(shù)學概念．它體現(xiàn)了課程改革中對學生學習的精神要求．APOS 理論的提出在一定程度上使傳統(tǒng)的“填鴨式”教學的現(xiàn)狀有所改變．

三、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的相關分析

1．教學內(nèi)容

本節(jié)課的教學內(nèi)容選自普通高中課程標準實驗教科書人教A 版數(shù)學必修1．

2．教材分析

指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一．指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)的研究是對函數(shù)的概念與性質(zhì)的相關內(nèi)容的深化，也為學生接下來學習指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容提供了知識基礎．指數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實生活息息相關，但是在教材中對指數(shù)函數(shù)定義的介紹相對簡單．

3．學情分析

知識儲備方面：學生在學習指數(shù)函數(shù)之前，在初中階段對函數(shù)有了一定的認識，有一次函數(shù)、二次函數(shù)學習的直接經(jīng)驗和在必修1 中對函數(shù)的概念和性質(zhì)的深入學習，已經(jīng)經(jīng)歷了高中關于函數(shù)概念的研究流程，熟悉了研究框架，對指數(shù)取值范圍的擴充也有一定的了解；能力方面：學生具有一定的合作交流、活動探究、反思質(zhì)疑的能力，有一定的猜想、推理和歸納的能力．

4．教學目標

（1）理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖像，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會運用．

（2）了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，認識數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系．

（3）在學習指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的過程中體會研究函數(shù)的一般流程和方法．

5．教學重難點

重點：掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

難點：推導指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．

四、基于APOS 理論的指數(shù)函數(shù)概念教學設計

1．“操作”階段（Action）——創(chuàng)設情境，探索概念

引例1：通過動畫演示引入，《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”［6］

問題1：

（1）在第x 次取后，寫出木棍的剩留量y 與x 的關系式．

（2）這個變化過程中，如何用x 來表示y 呢？

【設計意圖】通過動畫演示引入，幫助學生從現(xiàn)實生活中分析得到指數(shù)函數(shù)模型．學生由每一次取了之后剩下的量和次數(shù)的關系歸納總結，不難發(fā)現(xiàn)第x 次取時剩下的量y與x 的關系式為學生在操作中切實體會變量之間的關系，建立對指數(shù)函數(shù)的概念的理解．

引例2：一位富翁對他的兒子說：“我會直接給你10 萬元，但你須要承擔一定的任務：從今天開始，第一天給我2元，第二天給我4 元，第三天給我8 元，第四天給我16 元．依此類推，假設我想簽訂一個15 天的合同，你同意嗎？ 假設我要和你簽訂一個30 天的合同，你簽嗎？ 在第x 天你應給我多少元錢？”

【設計意圖】學生在引例中發(fā)現(xiàn)問題，思考給出的錢y和時間x 的數(shù)量關系，通過歸納得出第x 天需要給出的錢y與x 的關系式為y＝2x（x∈N）．在討論交流、歸納、抽象共性的情況下，學生將經(jīng)歷從簡單到復雜、從特殊到一般的過程，體會指數(shù)函數(shù)是現(xiàn)實生活中的一種有效的數(shù)學模型．

2．“過程”階段（Process）——梳理特征，概括概念

問題2：在上面的兩個引例中得到了兩個關系式y(tǒng) ＝2x它們是不是函數(shù)表達式？

【設計意圖】教師引導學生觀察表達式，通過分析引例1 中得到的表達式和引例2 中得到的表達式y(tǒng)＝2x（x∈N），結合函數(shù)的定義思考，學生很容易得出結論．

問題3：這兩個函數(shù)表達式有什么共同特征？

【設計意圖】學生通過觀察分析這兩個函數(shù)表達式的特點，從整體上體驗指數(shù)函數(shù)的一般特征．

學生活動：這個函數(shù)是我們學習過的函數(shù)嗎？

【設計意圖】學生不斷比較這兩個函數(shù)表達式與已經(jīng)學習過的函數(shù)表達式，很容易得出：這兩個函數(shù)表達式與已經(jīng)學習過的函數(shù)表達式不同．［7］

學生活動：寫出這個新函數(shù)的一般表達式．

問題4：請同學們發(fā)揮自己的想象力，聯(lián)系這個新函數(shù)的特征，給它取一個合適的名字．

【設計意圖】讓學生發(fā)揮想象力，聯(lián)系已經(jīng)學習過的函數(shù)的名稱，經(jīng)歷給函數(shù)取名的過程，降低學生對新知識的陌生程度，從而輕松得到指數(shù)函數(shù)的定義．

問題5：指數(shù)函數(shù)y＝ax中的底數(shù)a 取任何數(shù)都可以嗎？

教師引導學生對底數(shù)a 的討論分為三個部分進行：

（1）若a＜0 會有什么問題？

（2）若a＝0 會有什么問題？

（3）若a＝1 又會怎么樣？

學生活動：小組討論．

（2）若a＝0，x＞0 時，ax＝0；x≤0 時，ax無意義．

（3）若a＝1，ax＝1x＝1 是常量，沒有研究的必要．

【設計意圖】教師引導學生取特殊值討論每種情況，體會為什么要規(guī)定a＞0 且a≠1，理解底數(shù)的取值屬于特殊的規(guī)定，深刻理解指數(shù)函數(shù)的定義，并為接下來學習指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下基礎．

問題6：指數(shù)函數(shù)y＝ax中，x∈R 都有意義嗎？

指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y ＝ax（a＞0 且a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)，定義域為R．

【設計意圖】學生在交流討論歸納出共同特征的基礎上，深入分析指數(shù)函數(shù)的概念中的底數(shù)a，發(fā)現(xiàn)當x 取正數(shù)、負數(shù)或0 時都有對應的函數(shù)值，總結概括出指數(shù)函數(shù)的具體概念，將指數(shù)函數(shù)看成一個獨立的整體進行研究．

3． “對象”階段（Object）——辨析特征，鞏固概念

例1結合指數(shù)函數(shù)的定義，判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)．

【設計意圖】通過練習，運用指數(shù)函數(shù)的定義解決問題，區(qū)別指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的不同，深入理解指數(shù)函數(shù)的概念．［8］

學生活動：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)探究．

【設計意圖】讓學生通過作圖探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，鞏固畫函數(shù)圖像的步驟及方法，引導學生從具體的函數(shù)圖像出發(fā)，觀察歸納對底數(shù)的分類討論的思維方式，讓學生從整體上強化對指數(shù)函數(shù)的圖像的認識．

4．“概型”階段（Scheme）——練習鞏固，形成結構

例2已知指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0 且a≠1）的圖像經(jīng)過點（3，π），求f（0）， f（1）， f（-3）的值．

例3比較下列各題中的兩個值的大?。?/p>

（1）1．72．5，1．73（2）0．8-0．1，0．8-0．2

（3）1．73，0．93

【設計意圖】引導學生在解決問題的過程中逐漸完善指數(shù)函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)的綜合圖式．

五、教學建議

在本節(jié)課的設計中，通過兩個引例，讓學生經(jīng)歷“操作”階段，理解指數(shù)函數(shù)的意義；再經(jīng)歷“過程”階段，將第一階段的操作過程綜合，得到對指數(shù)函數(shù)的概念的初步認識，辨析底數(shù)a 的取值，得到指數(shù)函數(shù)的概念；在“對象”階段，將指數(shù)函數(shù)看成一個獨立的對象，探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；最后在“概型”階段，通過適當?shù)木毩暎龑W生將指數(shù)函數(shù)模型運用到實際生活中．

APOS 理論的四個階段是循序漸進的過程，每個階段對學生概念的獲得都具有不同的意義．數(shù)學知識體系是學生在學習過程中逐漸建構起來的，因此教師在教學中要聯(lián)系學生已有的知識，設計適當?shù)慕虒W過程，引導學生主動建構數(shù)學概念．